中考数学动态几何专题复习.doc

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中考数学动态几何专题复习
图形的运动变化问题。
 【典型例题】
例1. 已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。

分析：连接OM交CD于E，

∵∠AOB＝60°，且M为中点
∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2
∴
∴

例2. 如图，AB是 ⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）
（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1））
分析：（1）AB＝BE
DC＝CE
∠A＝∠E
DC为⊙O切线
（2）若∠ABC为直角
则∠A＝∠E＝45°，DC＝BC
DC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线

例3. 在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

分析：（1）∵AB为半圆直径

∴∠ACB＝90°
∵AC＝8，BC＝6
∴AB＝10
∴△ABC中AB边上高h＝4.8m
（2）设DN＝x，CM＝h＝4.8
则MP＝x

当时，水池面积最大。

例4. 正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。

分析：△BPQ≌△BCQ
BP＝BC＝6
连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）

∴△BPC为等边三角形
∴∠PBC＝60°，
又∵
∴在Rt△BEN中，BN＝3
∴

例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 。

分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1
过B作BM⊥x轴于M

则BM＝3，OM＝3
又∵AC与CB为入射光线与反射光线
∴∠AOC＝∠BCM
∴△AOC∽△BMC
∴
∴
∴
∴
同理：BC
∴

例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：（1）AD⊥MN
BE⊥MN
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠DAC＋∠DCA＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴∠DCA＋∠ECB＝90°
∴∠DAC＝∠ECB
∵AC＝BC
∴△ADC≌△CEB
∴DC＝BE
AD＝CE
∴DE＝DC＋CE
＝BE＋AD
（2）与（1）同理
△ADC≌△CEB
∴CD＝BE
AD＝CE
∵DE＝CE－CD
＝AD－BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时
与（1）（2）同理可知
CE＝AD，BE＝CD
∵DE＝CD－CE
＝BE－AD

例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由。
分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.
证明：连结CG
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点
∴CG＝BG,CG⊥AB
∴∠ACG＝∠B＝45°
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH＝∠CGK
∴△BGH≌△CGK
∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK
∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK
＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC
＝××4×4＝4
即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化
（2）∵AC＝BC＝4，BH＝，

∴CH＝4－，CK＝x
由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，
得＝
∴
∵0°＜α＜90°，
∴0＜＜4
（3）存在。
根据题意，得
解这个方程，得
即：当或时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的。

例8. 经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。
（1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；
（2）已知⊙O的半径为一定值，若点 P是不在⊙O上的一个定点，请你过点 P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D，PC·PD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。

分析：（1）PA·PB＝PC·PD
证明：连接AC、BD
则△ACP∽△DBP
∴
∴AP·BP＝CP·DP
（2）PC·PD的值为定值
（当P在圆外时）
借助图⑤，过P作⊙O切线PA
则
（连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时）
又有
∴
（当P在圆内时）借助图②，
连接OP并延长分别交⊙O于E，F时

例9. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点 Q在半圆O上运动，且总保持 PQ＝PO，过点 Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。

（1）当∠QPA＝60°时，请你对ΔQCP的形状做出猜想，并给予证明。
（2）当QP⊥AB时，那么ΔQCP的形状是________三角形。
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，ΔQCP一定是____三角形。
分析：（1）△QCP是等边三角形
证明：连接OQ，则∵CQ为⊙O切线
∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90°
∵PQ＝PO，∠QPC＝60°
∴∠POQ＝∠PQO＝30°
∴∠C＝90°－30°＝60°
∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°
∴△QPC是等边三角形
（2）等腰直角三角形
（3）等腰三角形

例10. 如图甲、乙、丙，在图甲中，以 O为圆心，半径分别为R，r（R＞r）的两个同心圆中，A、D为大⊙O上的任意两点，小圆O的割线 ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：AB·AC＝DE·DF

证明：因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以 AB＝R－r，AC＝R＋r，DF＝R－r，DE＝R＋r，所以AB＝DE，AC＝DF，故AB·AC＝DE·DF。
阅读上述证明后，完成下列两题：
（1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）．求证：AB·AC＝DE·DF
（2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。
分析：（1）连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点
可证得：而
∴
（2）猜想AB·AC＝DE·DF，连接DO交小⊙O于E'、F'
由（1）得AB·AC＝DE'·DF'，而DE'·DF'＝DE·DF
故猜想成立。

【模拟试题】
一、填空题：
1. 方程的根是 。
2. 已知a，b是方程的两根，则代数式的值是________。
3. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： 。
4. 抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________。
5. 已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径＝ 。
6. 如图，直线TB与△ABC的外接圆相切于点B，AD∥BC,∠BAD＝70°,∠ACB＝40°，则∠TBC＝ 。

7. 如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为 。

8. 已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2 ＝ 3, r1 ＝ 5,
则r2 ＝ 。
9. 一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为 cm。
10. 某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：
分数段
18分以下
18—20分
21—23分
24—26分
27—29分
30分
人数
2
3
12
20
18
10
那么该班共有 人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是 .

二、选择题：
11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≤1 B. k≥1 C. k＜1 D. k＞1
12. 使关于x的分式方程产生增根的a的值是 （ ）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a无关
13. 为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（ ）
A. x－y＝ B. y－x＝
C. D.
14. 把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）
A. b＝3， c＝7 B. b＝－9， c＝－15
C. b＝3， c＝3 D. b＝－9， c＝21
15. 二次函数的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为（ ）

A. ab＜0 B. bc＜0
C. a＋b＋c＞0 D. a－b＋c＜0
16. 已知点（－1，y1）, (－3，y2), (－0.5，y3)在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. 　 B.　　 C. 　 　D.
17. 下列语句中正确的有（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等；
B. 平分弦的直径垂直于弦；
C. 长度相等的两条弧是等弧；
D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
18. 已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. cm D. cm
19. 如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC,∠AOC＝160°，则∠BCO等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
20. 如图， PT是⊙O的切线, T为切点, PBA是割线, 交⊙O 于A、B两点,与直径CT交于点D, 已知CD＝2, AD＝3, BD＝4, 那么PB等于（ ）

A. 6 B. C. 20 D. 7

三、解答题：
21.解方程
（1）
（2）
22. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE，EF。
（1）试说明：AE是∠BAC的平分线；
（2）若∠ABD＝60°。问：AB与EF是否平行？请说明理由。

23. 如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点（点C、D均不与A、B重合）。
（1） 求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面积。

【试题答案】
一、填空题
1. ，
2.
3. （此题答案不惟一，只要，都正确）
4.
5. 7 6. 30°
7. 8. 2或8
9. 2 10. 65，
二、选择题
11. A 12. C 13. C 14. A 15. D 16. C 17. D 18. A 19. C 20. C
21. （1），
（2）检验：是原方程的解。
22. 连BE

（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°
∴∠EAB＋∠ABE＝90°
∵AC⊥CD，∴∠CAE＋∠CEA＝90°
又∵CD与⊙O相切，∴∠CEA＝∠ABE，
∴∠CAE＝∠BAE，即AE平分∠CAB。
（2）∵∠ABD＝60°，∵BD⊥CD，AC⊥CD
∴AC∥BD，∴∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°
∵∠DFE＝∠BAE＝60°
∴∠DFE＝∠DBA，∴AB∥EF
23. （1）连OA、OB，过O作OE⊥AB于E点

∴
∵OA＝2，∴
∴∠AOE＝60°，即∠AOB＝120°
∴∠D＝60°，∴∠D＋∠C＝180°
∴∠C＝120°，∴∠ACB＝120°
（2）要使△ABD的面积最大，∵
∴D在上最高点，即过D作AB的垂线DE，
∴DE经过O点，在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝
∴OE＝1，∴DE＝3
∴
即

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