广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题（答案）.pdf

第 1页/共 22页学科网（北京）股份有限公司2023 学年第二学期期末教学质量监测学年第二学期期末教学质量监测高一数学（试题）高一数学（试题）本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用 2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡交回.一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.在ABC中，3BEEC ，则AE （）A.1233ABAC B.2133ABAC C.1344ABAC D.3144ABAC【答案】C【解析】【分析】利用平面向量运算法则逐步转换即可.【详解】33()44AEABBEABBCABACAB 1344ABAC.故选：C2.下列的表述中，正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行【答案】B第 2页/共 22页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】对于 A，根据过平面外一点有且只有 1 条直线与平面垂直以及线面垂直定义即可判断；对于 B，由平面概念即可判断；对于 C，由线面垂直定义即可判断；对于 D，“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个即可判断”.【详解】对于 A，因为过平面外一点有且只有 1 条直线与平面垂直，而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故 A 错误；对于 B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故 B 正确；对于 C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故 C 错误；对于 D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个，所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故 D 错误.故选：B.3.若两个非零向量,a b的夹角为，且满足|2|,(3)ababa，则cos（）A.23B.13C.13D.23【答案】A【解析】【分析】由3aba可得30aba，再根据向量的数量积运算律和夹角公式求解即可.【详解】因为3aba，所以30aba，所以230aa b，所以23aa b ，所以223cos32aa babaa .故选:A.4.有一组从小到大排列的样本数据12,nx xx，由这组数据得到新样本数据12,ny yy，其中iiyaxb(1,2,)in，0,0ab，则（）A.数据231,nyyy的标准差不小于数据12,ny yy的标准差第 3页/共 22页学科网（北京）股份有限公司B.数据231,nyyy的中位数与数据12,ny yy的中位数相等C.若数据12,nx xx的方差为 m，则数据12,ny yy的方差为amD.若数据12,nx xx的极差为 d，则数据12,ny yy的极差为adb【答案】B【解析】【分析】对于 A，根据题意以及标准差的意义即可判断；对于 B，根据中位数定义即可判断；对于 C，由方差性质即可判断；对于 D，根据极差定义直接计算即可得解.【详解】对于 A，因为1,2,3.,1inyyy in，所以根据标准差的意义可知数据231,nyyy的标准差小于等于数据12,ny yy的标准差，故 A 错误；对于 B，根据中位数定义可知，数据231,nyyy的中位数与数据12,ny yy的中位数是相同数据所得，所以两组数据中位数相等，故 B 正确；对于 C，若数据12,nx xx的方差为 m，则由方差性质得数据12,ny yy的方差为2a m，故 C 错误；对于 D，由题意数据12,nx xx的极差为1ndxx，所以数据12,ny yy的极差为 11nnaxbaxba xxad，故 D 错误.故选：B.5.为了得到2sin 23yx的图象，只需把sinyx图象上所有的点（）A.先向右平移23个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B.先向右平移23个单位长度，横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不变C.先向左平移23个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D.先向左平移23个单位长度，横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不变【答案】C【解析】【分析】根据平移变换知识即可判断.第 4页/共 22页学科网（北京）股份有限公司【详解】根据平移变换知识sinyx先向左平移23个单位长度可得2sin3yx，再将所得曲线横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得2sin 23yx.故选：C.6.已知ABC的外接圆圆心为 O，且2,|3|AOABACABAO ，则BA 在BC 上的投影向量为（）A.32BC B.34BCuuu rC.58BC D.34BC【答案】B【解析】【分析】由题意得出BC为ABC的外接圆的直径以及6ABC，再根据投影向量的概念直接计算即可得解.【详解】因为2AOABAC，所以 O 为 BC 边中点，所以BC为外接圆的直径，2BAC且OAOBOCR（R为外接圆半径），又|3|3ABAOR，故22221232ACBCABRRRBC，所以6ABC，则BA 在BC 上的投影向量为3cos3 cos6 24BCBCBABACRBCRBC .故选：B.7.设0,2，0,2，且1tantancos，则（）A.22B.22C.22D.22【答案】A第 5页/共 22页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.【详解】因为1tantancos，所以sinsin1coscoscos，所以sincoscossincos，即sinsin2又0,2，0,2，所以2，即22或2，即2（舍去）故选：A.8.通常以 24 小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm 100mm）小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm10mm）连续接了 24 小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得 24 小时内降水在平地上积水厚度，即可得解.【详解】由题桶的下底面面积为21200100002S，上底面面积2320256002S第 6页/共 22页学科网（北京）股份有限公司又桶中水水面与底面距离为1305cm50mm6，设水面半径为r，如图为桶的轴截面图形，则16 106cmBL，则30525cmMD，故由BMDBLA得2565cm30MDBMBLLA，故水面半径为116511cm110mmrCDQ M，所以桶中水水面面积为21 11012100S 所以连续 24 小时的桶中水的体积为116550001210010000+12100 100005033V水，所以 24 小时内降水在平地上积水厚度为1655000321.510,2525600，所以当天的降雨等级是中雨.故选：B.【点睛】思路点睛：先计算出水面半径，进而得水桶桶中水的体积，再除以水桶上底面面积即可得 24 小时内降水在平地上积水厚度.二二、选择题选择题：本大题共本大题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对得全部选对得 6 分，有选对但不全的得部分分，有选错的得分，有选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知向量(2,),(1,3)am b，则下列说法中正确的是（）A.若|10ab，则4m B.若|abab，则23m C.若/ab，则6m D.若向量,a b的夹角为钝角，则 m 的取值范围是2,3【答案】BC【解析】第 7页/共 22页学科网（北京）股份有限公司【分析】A 选项，计算出(1,3)abm，利用模长公式列出方程，求出0m，A 错误；B 选项，根据模长公式列出方程，求出答案；C 选项，根据平行关系列出方程，求出6m ；D 选项，得到0a b 且,a b 不反向共线，得到不等式，求出答案.【详解】A 选项，(1,3)abm，故221310m，解得0m，A 错误；B 选项，|abab，即2221333mm，解得23m，B 正确；C 选项，由题意得2 310m ，解得6m ，C 正确；D 选项，若向量,a b的夹角为钝角，则0a b 且,a b 不反向共线，故230m 且2 30m，解得23m 且6 m，D 错误.故选：BC10.已知复数12,z z，则下列说法中正确的是（）A.1212zzzzB.若2121z zz，则12zzC.若1212zzzz，则1 20z z D.若20z，则1122zzzz【答案】AD【解析】【分析】对于 A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于 B、C，举反例即可判断；对于 D，设1izab，2izcd，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断.【详解】对于 A，设复数1z、2z对应的点分别为1Z、2Z，则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得12121212zzOZOZOZOZzz ，故 A 正确；对于 B，当10z，则21210zzz，2z可为任意复数，即1z与2z不一定相等，故 B 错误；对于 C，设复数11z、2iz，则1212i1 i,1zzzz，故12122zzzz，但不满足1 20z z，故 C 错误；对于 D，若20z，设1izab，2i,Rzcd a b c d，第 8页/共 22页学科网（北京）股份有限公司故1222iiiiiiiabcdacbdbcadzabzcdcdcdcd，则222222222222222122222zacbdbcada cabcdb db cabcda dcdccdzd22222222222abcdabcdcd，又221222iizabbcdazcd，故1122zzzz，故 D 正确.故选：AD.11.在正三棱柱111ABCABC-中，已知动点 P 满足1BPBCBB ，0,1,0,1，且1ABAA，则下列说法中正确的是（）A.若1，则三棱锥1BAB P的体积是定值B.若1，则三棱锥1BAB P的体积是定值C.若12，则三棱锥1BAB P的体积是三棱柱111ABCABC-的体积的16D.若1，则直线 AP 与平面11BBCC所成角的正弦值的最大值是427【答案】ACD【解析】【分析】对于 A，易得点P在1CC上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于 B，易得点P在11BC上，再根据棱锥的体积公式即可判断；对于 C，由题意得点P为1BC的中点，再根据棱锥和棱柱的体积公式即可判断；对于 D，由题意可得点P在1BC上，取BC的中点D，连接,AD DP AP，证明AD 平面11BBCC，则APD即为直线 AP 与平面11BBCC所成角的平面角，再解Rt APD即可判断.【详解】对于 A，若1，则1BPBCBB ，所以1BBBPBCCP ，所以1/BBCP，所以点P在1CC上，第 9页/共 22页学科网（北京）股份有限公司因为11/CCBB，所以点P到平面1ABB的距离即为点C到平面1ABB的距离，为定值，而1ABBS为定值，所以11AB AB PPBBVV为定值，故 A 正确；对于 B，若1，则1BPBCBB ，所以11BCBPBBB P ，所以1/BC B P，所以点P在11BC上，所以点P到平面1ABB的距离不是定值，因为1ABBS为定值，所以11AB AB PPBBVV不是定值，故 B 错误；对于 C，若12，则点P为1BC的中点，故11 1 111111111122236P ABBC ABBBACABC A BCABCABBB PVVVVSBBV，故 C 正确；第 10页/共 22页学科网（北京）股份有限公司对于 D，若1，则1,B P C三点共线，即点P在1BC上，取BC的中点D，连接,AD DP AP，则ADBC，因为1BB 平面ABC，AD 平面ABC，所以1BBAD，又11,BCBBB BC BB平面11BBCC，所以AD 平面11BBCC，所以APD即为直线 AP 与平面11BBCC所成角的平面角，设正三棱柱111ABCABC-的棱长为2，则3AD，而3tanADAPDPDPD，要使sinAPD最大，则tanAPD要最大，则PD最小，当1PDBC时，PD最小，此时12sin2PDCDBCB，此时114322PA，所以max342sin7142APD，第 11页/共 22页学科网（北京）股份有限公司即直线 AP 与平面11BBCC所成角的正弦值的最大值是427，故 D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,a n.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知复数 z 满足(1i)2iz，则|z _【答案】102#1102【解析】【分析】先求出复数 z，再根据复数的模的定义直接计算即可得解.【详解】由题意2i3i312i 1 ii1 i2221 i 1 iz，故222|103122|z.故答案为：102.第 12页/共 22页学科网（北京）股份有限公司13.某班有男学生 20 人、女学生 30 人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为_小时，方差为_【答案】.25.6.1.3【解析】【分析】将数据代入平均数公式和分层抽样方差公式进行运算.【详解】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为25 2026 3025.650，方差为2220 1(2525.6)30 1.1(2625.6)1.350.故答案为：25.6；1.314.己知点,G O在ABC所在平面内，满足0,|GAGBGCOAOBOC ，且3AG AO，|2AG，则边 BC 的长为_【答案】3 2【解析】【分析】取AB的中点D，先证明点G为ABC的重心，易得点O为ABC的外心，将AG用,AB AC 表示，再根据数量积的几何意义结合3AG AO 求出22ABAC，再根据|2AG 求出AB ACuuu r uuu r，进而可得出答案.【详解】取AB的中点D，则2GDGAGB ，因为0GAGBGC ，所以2GDGC，所以/GD GC，又G为公共端点，所以,C G D三点共线，所以点G在AB边的中线上，且23CGCD，同理点G在,AC BC边的中线上，即点G为ABC的重心，第 13页/共 22页学科网（北京）股份有限公司故211323AGABACABAC ，因为|OAOBOC ，所以点O为ABC的外心，即为O为ABC中垂线的交点，故11cos,cos22AOOABABAOOACAC，则221113336AG AOABACAOAB AOAC AOABAC ，所以2218ABAC，而13AGABAC，所以22129AGABAC，即22218ABACAB AC ，所以0AB AC ，所以ABAC，所以223 2BCABAC.故答案为：3 2.【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合3AG AO 求出2218ABAC，是解决本题的关键.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点 E，P 分别为CD，11AB的中点（1）求证：直线/DP平面1AB E；第 14页/共 22页学科网（北京）股份有限公司（2）求点 A 到平面1BB E的距离【答案】（1）证明见解析（2）4 55【解析】【分析】（1）证明四边形1B EDP是平行四边形，进而得1/B EDP即可得证直线/DP平面1AB E；（2）由11A B BEBABEVV即可求解.【小问 1 详解】由正方体性质可知，11/B ACD且11B ACD，故1/B PED，又因为点 E，P 分别为CD，11AB的中点，所以1111122B PB ACDED，所以四边形1B EDP是平行四边形，所以1/B EDP，又1B E 平面1AB E，DP 平面1AB E，所以直线/DP平面1AB E.【小问 2 详解】设点 A 到平面1BB E的距离为h，由题2222215BEAEADDE，故112 2222ABESABBC,又由正方体性质1B B 平面ABCD，BE 平面ABCD，所以1B BBE，所以111125522B BESB BBE，所以11111151145,2 2333333A B BEB BEBABEABEVShhh VSB B，又11A B BEBABEVV，故544 5335hh，即点 A 到平面1BB E的距离为4 55.16.一家品牌连锁公司旗下共有 100 所加盟店公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率第 15页/共 22页学科网（北京）股份有限公司12,14100.114,16x0.1516,18200.218,2030y20,22150.1522,2450.0524,2650.05合计1001.00（1）请求出频率分布表中 x，y 的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这 100 所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议【答案】（1）15,0.3xy，频率分布直方图见解析.（2）18.2x（3）选取本年度营销总额大于17 5.百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.【解析】【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解,x y，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图.（2）根据平均数计算公式即可求解.（3）根据百分位数公式即可求解.【小问 1 详解】第 16页/共 22页学科网（北京）股份有限公司100 0.15,30 1000.3xy,频率分布直方图如图所示，【小问 2 详解】13 0.1 15 0.15 17 0.2 19 0.321 0.1523 0.0525 0.051 8.2x，故这 100 所加盟店去年销售总额的平均数为 18.2.【小问 3 详解】第 40 百分位数为0.40.1 0.1516217.50.2，故应选取本年度营销总额大于17 5.百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.17.已知甲船在 A 海岛正北方向15 3海里的 B 处，以 7 海里/小时的速度沿东偏南60的方向航行（1）甲船航行 3 小时到达 C 处，求 AC；（2）在 A 海岛西偏南60方向 6 海里的 E 处，乙船因故障等待救援 当甲船到达 A 海岛正东方向的 D 处时，接收到乙船的求援信号已知距离 A 海岛 3 海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿 DE 方向航行前往救援？请说明理由【答案】（1）171AC 海里；（2）甲船能沿 DE 方向航行前往救援，理由见解析.【解析】【分析】（1）在ABC中使用余弦定理即可求得答案.（2）先根据题目所给的条件作图，在ABD中，由tanADABABC求得AD长度，在ADEV中，先根据余弦定理求得DE长度，再利用等面积法求得AF长度，即可判断.【小问 1 详解】第 17页/共 22页学科网（北京）股份有限公司由题意得，15 3AB 海里，3 721BC 海里，906030ABC，在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCAB BCABC2215 3212 15 321 cos30171，所以，171AC(海里).【小问 2 详解】甲船能沿 DE 方向航行前往救援，理由如下：如图所示，延长BC，过点 A 向正东方向作AD交BC的延长线于点 D，连接DE，过点 A 作AFDE交DE于点 F，在ABD中，3tan15 3153ADABABC(海里)，在ADEV中，6AE(海里)，18060120DAE，由余弦定理得222222cos1562 15 6 cos120351DEADAEAD AEDAE ，所以351DE(海里)，所以31315 622115 1311323512ADEAFDES，因此甲船能沿DE方向航行前往救援.18.在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是 PD 的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为64第 18页/共 22页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AM平面PCD；（2）求直线AM与直线PB所成角的余弦值；（3）求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）64（3）2 77【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD 平面PAD，则CDAM，再由等边三角形三线合一的性质可得AMPD，然后由线在垂直的判定定理可证得结论；（2）取AD的中点O，BC的中点E，连接,OP OE，可证得,OE OD OP两两垂直，所以以O为原点，,OE OD OP所在的直线分别为,x y z建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；（3）求出平面ABM与平面PBC的法向量，利用空间向量求解即可.【小问 1 详解】证明：因为ABCD为矩形，所以CDAD，因为侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，CD 平面ABCD，所以CD 平面PAD，因为AM 平面PAD，所以CDAM,因为侧面PAD为正三角形，M 是 PD 的中点，所以AMPD，因为PDCDD，,PD CD 平面PCD，所以AM平面PCD；【小问 2 详解】取AD的中点O，BC的中点E，连接,OP OE，第 19页/共 22页学科网（北京）股份有限公司因为PAD为正三角形，所以OPAD，因为侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，OP 平面PAD，所以OP 平面ABCD，因为,OE OD 平面ABCD，所以,OPOE OPOD，因为四边形ABCD为矩形，AD的中点O，BC的中点E，所以OEOD，所以,OE OD OP两两垂直，所以以O为原点，,OE OD OP所在的直线分别为,x y z建立空间直角坐标系，设,ABa BCb，因为OP 平面ABCD，所以PBO为PB与平面ABCD所成角，所以222362sin41322bPOPBOPBabb，化简得ab，令2a，则13(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,)22ABPM,所以33(0,),(2,1,3)22AMPB ，所以333622cos,49332 24 1 344AM PBAM PBAM PB ，所以直线AM与直线PB所成角的余弦值为64；【小问 3 详解】因为13(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,),(2,1,0)22ABPMC，第 20页/共 22页学科网（北京）股份有限公司所以33(0,),(2,1,3)22AMPB ，(2,0,0),(0,2,0)ABBC ，设平面ABM的法向量为111(,)mx y z，则1112033022m ABxm AMyz ，令13z，则(0,1,3)m，设平面PBC的法向量为222(,)nxy z，则222223020n PBxyzn BCy ，令23z，则3(,0,3)2n，所以33cos,9211 334m nm nm n ，设平面ABM与平面PBC所成二面角为，所以232 7sin1721所以平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值2 7719.如图，E 为线段 AD 的中点，C 为 DA 延长线上的一点，以 A 为圆心，AE 长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接 BC，BD（1）若2AD，以 BD 为边作正三角形 BFD，求四边形 ABFD 面积的最大值；（2）在ABC中，记BACABCACB，的对边分别为 a，b，c，且满足2()cb ba求证：2BACABC；求4coscbbABC的最小值【答案】（1）5 324（2）证明见解析；4 3.第 21页/共 22页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可；（2）应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值.【小问 1 详解】设,0,BDtBAD，,在ABD中2,1ADAEAB，由余弦定理得2142 1 2 cos54cost ,1131 2 sin222ABFDABDBDFSSStt 2335 3sinsin54cos2sin4443t，当56时，max5 324ABFDS.【小问 2 详解】在ABC中，由余弦定理22222cosabbcbcbcBAC,所以2 cosbcbBAC，再由正弦定理得sinsin2sincosABCACBABCBAC,sinsin2sincosABCABCCABABCBAC,sinsincoscossin2sincosABCABCBACABCBACABCBAC,sincossinsincossinABCABCBACABCBACBACABC,sinsinABCBACABC,0,BACABCABC 所以ABCBACABC，2BACABC.设2ABCBAC，则3ACB，由正弦定理可得sinsin2bc,所以sin2sinbc,所以sin2sin244sin24sin4sinsincoscoscossin cosbbcbbABCb232222sin cos2cos sin24sinsin cossin2cossin4sincossin2cos4sin cossin coscos第 22页/共 22页学科网（北京）股份有限公司24cos3334cos2 4cos4 3coscoscos.当3cos26，时，4coscbbABC的最小值为4 3.【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可.