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求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o
例1 在数列{}中，,，求通项公式.
解：原递推式可化为：则
，……，逐项相加得：.故.
二、作商求和法
例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）
解：原递推式可化为：
=0 ∵ ＞0，
则 ……， 逐项相乘得：，即=.
三、换元法
例3 已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.
解：设，原递推式可化为：
是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.
例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。
由于
又
所以，即
四、积差相消法
例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，，…，，…满足= 且，求的通项公式.
解 将递推式两边同除以整理得：
设=，则=1，，故有
⑴ ⑵
… … … …
()
由⑴+ ⑵ +…+()得=，即=.
逐项相乘得：=，考虑到，
故 .
五、取倒数法
例6 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。
解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.
六、取对数法
例7 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.
七、平方（开方）法
例8 若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.
解 将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：
1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.
例9 若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.
解 递推式可变形为 （1）
设（1）式可化为 （2）
比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。
当n，。
数列{}的通项公式是 。

2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.
例10 在数列{}中，求通项公式。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得=-4，①式即是：.
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.
∴
即.
3、型，可化为的形式。
例11 在数列{}中，，当， ① 求通项公式.
解：①式可化为：

比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.
∴.利用上题结果有：
.
4、型，可化为的形式。
例12 在数列{}中，，=6 ①
求通项公式.
解 ①式可化为：
② 比较系数可得：
=-6，，② 式为
是一个等比数列，首项，公比为.
∴
即
故.
九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
例13 在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。