高中数学电子书——常见函数.doc

反函数
⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。[来源: ]
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
[来源:]

复合函数
复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。

初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：
函数名称
函数的记号
函数的图形
函数的性质
指数函数

 a):不论x为何值,y总为正数;
 b):当x=0时,y=1.
对数函数

 a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点
 b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.
幂函数
a为任意实数

这里只画出部分函数图形的一部分。
 令a=m/n
 a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;
 b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;
 c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.
三角函数
(正弦函数)
 这里只写出了正弦函数

 a):正弦函数是以2π为周期的周期函数
 b):正弦函数是奇函数且
反三角函数
(反正弦函数)
这里只写出了反正弦函数

 a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.
⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：是初等函数。
双曲函数及反双曲函数
⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)
函数的名称[来源:]
函数的表达式
函数的图形
函数的性质
双曲正弦

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；
c)：在定义域内是单调增
双曲余弦

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是偶函数；
c)：其图像过点(0,1)；[来源:]
双曲正切

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；
c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：[来源: ]
双曲函数的性质
三角函数的性质

shx与thx是奇函数，chx是偶函数
sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数

它们都不是周期函数
都是周期函数
双曲函数也有和差公式：

⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.
a)：反双曲正弦函数   其定义域为：(-∞,+∞)；
b)：反双曲余弦函数   其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数     其定义域为：(-1,+1)；