自动控制原理_胡寿松第5版_课后习题及答案_完整_.doc

胡寿松自动控制原理习题解答第二章

2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量，
Q2 为水箱的用水流量，

H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出

水箱的微分方程。

解 当 Q1 = Q2 = Q0 时，H = H 0 ；当 Q1 ≠ Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 − Q2 成

正比，此时有

F d (H − H 0 ) = (Q


− Q ) − (Q


− Q )

dt 1 0 2 0

于是得水箱的微分方程为
F dH = Q − Q
dt 1 2

2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式

及传递函数。

图 2—57 机械系统
解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

f1 ( x&i − x&0 ) − f 2 x&0 = m&x&0

整理得

2
m d x0 + ( f
+ f ) dx0 = f
dxi

dt 2
1 2 dt
1 dt

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

1
[ms 2 + ( f

+ f 2
)s]X

0 (s) =

f1 sX i

(s)

于是传递函数为

X 0 (s) =
X i (s)
f1
ms + f1 + f 2

②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：

K1 ( xi − x) =

f ( x& − x&0 )

K 2 x0 =
f ( x& − x&0 )

消去中间变量 x，可得系统微分方程

f (K
+ K ) dx0 + K K x

= K f
dxi

1 2 dt
1 2 0
1 dt

对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为

X 0 (s) =
X i (s)
fK1 s
f (K1 + K 2 )s + K1 K 2

③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

K1 ( xi − x) + f ( x&i − x&0 ) = K 2 x0

移项整理得系统微分方程

f dx0 + (K
dt 1

+ K 2

) x0 =
f dxi
dt

+ K1 xi

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

xi (0) = x0 (0) = 0

则系统传递函数为

X 0 (s) =
X i (s)
fs + K1
fs + (K1 + K 2 )

2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

图 2-58 电网络与机械系统　

1


R 1
1 C s R R

解：（a）：利用运算阻抗法得： Z
= R //
= 1 = 1 = 1

1 1 C s
R C s +
T s +

1 R1
+ 1
C1 s
1 1 1 1 1

Z 2 = R2
+ 1
C2 s
= 1
C2 s
(R2 C2
s + 1) =
1
C2 s
(T2 s + 1)

U (s) Z
1
(T2 s + 1)
C s


(T s + 1)(T s + 1)

所以： 0 = 2 = 2 = 1 2

U i (s)
Z1 + Z 2
R1 +
T1 s + 1
1
C2 s

(T2 s + 1)
R1C2 s + (T1 s + 1)(T2 s + 1)

(b)以 K1 和 f1 之间取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

K 2 ( xi − x0 ) + f 2 ( x&i − x&0 ) =
f1 ( x&0 − x&)
（1）

K1 x =
f1 ( x&0 − x&)
（2）

所以 K 2 ( xi − x0 ) + f 2 ( x&i − x&0 ) = K1 x

对（3）式两边取微分得

K 2 ( x&i − x&0 ) + f 2 (&x&i − &x&0 ) = K1 x&

将（4）式代入（1）式中得
（3）

（4）

K1 K 2 ( xi − x0 ) + K1 f 2 ( x&i − x&0 ) = K1 f1 x&0 − f1 K 2 ( x&i − x&0 ) − f1 f 2 (&x&i − &x&0 )

整理上式得

f1 f 2 &x&0 + f1 K 2 x&0 + K1 f1 x&0 + K1 f 2 x&0 + K1 K 2 x0
= f1 f 2 &x&i + f1 K 2 x&i + K1 f 2 x&i + K1 K 2 xi
对上式去拉氏变换得

1
2
[f f

1
1
2
s 2 + ( f K

2
+ K1 f1

+ K1

0
f 2 )s + K1 K 2
]X (s)

1
2
= [ f
f s 2 + ( f K
+ K1
f 2 )s + K1 K 2 ]X

i
(s)

所以：

X 0 (s) =


2
2
f1 f 2 s


+ ( f1 K 2 + K1 f 2 )s + K1 K 2


f1 f 2
K1 K 2
=


s 2 + ( f1
K
1


+ f 2 )s + 1
K 2

X i (s)
f1 f 2 s
+ ( f1 K 2 + K1 f1 + K1 f 2 )s + K1 K 2
f1 f 2
K1 K 2

s 2 +
( f1
K
1
+ f 2 )s + 1 + f1
K 2 K 2

( f1
K
= 1
s + 1)( f 2
K 2

s + 1)

( f1
K
1
s + 1)( f 2
K 2
s + 1) + f1
K 2

所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。

解：（a） :列写电压平衡方程：

duC uC

ui − u0 = uC
iC = C



dt

duC


uC 
iR1 =
R1

R



1
d (ui − u0 )


ui − u0 

u0 = (iC + iR1 )R2 = C
+  R2 = C
+  R2

整理得：


 dt


R1   dt
R1 

CR du0 +  C R2

0

+ 1u

= CR
dui
+ C R2 u


2 dt
 R1 
2 dt i

(b) :列写电压平衡方程：


duC1

ui − u0 = uC1
（1）
iC1 = C1
dt
（2）

iC 2 =
uC1 + iC1 R R

+ iC1 =
uC1
R

+ 2i

C1 = C2
duC 2
dt

= C2
d (u0 − iC1 R)
dt

（3）

即： uC1
R

+ 2iC1 = C2
d (u0 − iC1 R)
dt

2
（4）

将（1）（2）代入（4）得：

ui − u0 + 2C
d (ui − u0 ) = C
du0 − C C
R d uC1

R 1 dt
2 dt
1 2 dt 2

u u du
du du
d 2 u
d 2 u

即： i − 0 + 2C
 i − 2C
 0 = C
 0 − C C
R i + C C
R 0

R R
整理得：
1 dt
1 dt
2 dt
1 2 dt 2
1 2 dt 2

2
C C R d u0 C
C du0 u0
C C R d ui ui
C dui

1 2 dt 2
+ ( 2 + 2
1 ) dt + R = 1 2

2
dt 2
+ + 2
R

1 dt

2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。　

(1)
2 x&(t ) + x(t ) = t;

解：对上式两边去拉氏变换得：

（2s+1）X（s）=1/s2→ X (s) =


1 = 1
s 2 (2s + 1) s 2


− 1 +
s


4
2s + 1

运动模态 e −0.5t

所以： x(t ) = t − 2(1 − e
− 1 t
2 )

(２) &x&(t ) + x&(t ) + x(t) = ä (t）。　

解：对上式两边去拉氏变换得：

(s 2 + s + 1) X (s) = 1 →

X (s) =
1
(s 2 + s + 1)
= 1
(s + 1/ 2) 2 + 3 / 4

运动模态 e

−t / 2
 

t
3

sin 
 2 

所以： x(t ) =
2 e −t / 2
3
 

t
3

sin 
 2 

（3） &x&(t ) + 2x&(t ) + x(t ) = 1(t）。

解：对上式两边去拉氏变换得：

(s 2 + 2s + 1) X (s) = 1 → X (s) =
s


1 =
s(s 2 + 2s + 1)


1
s(s + 1) 2


= 1 −
s


1 +
s + 1


1
(s + 1) 2

运动模态 e −t (1 + t )

所以： x(t ) = 1 − e −t − te −t
= 1 − e −t (1 + t)

2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：

Q = K P

式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化

方程。
解：

设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x
) +  df ( x) 

( x − x )


0  dx

0
 x0

即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )

 dQ 
其中 K1 =  
dP
= 1 K 1
0 0
2

  P = P P

2-7 设弹簧特性由下式描述：

F = 12.65 y1.1

其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。
解：

设正常工作点为 A，这时 F = 12.65 y1.1
0 0

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x
) +  df ( x) 

( x − x )


0  dx

0
 x0

即 F − F0 = K1 ( y − y0 )

 dF 
其中

0.1

0.1

K1 =  
= 12.65 ×1.1y0
= 13.915 ×1.1y0

 dy 
y = y0

2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：

0
ed = Ed

cosá

式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解：

设正常工作点为 A，这时 Ed
= Ed 0 cosá 0

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x
) +  df ( x) 

( x − x )


0  dx

0
 x0

0
即 ed − Ed
cosá 0 = K s (á − á 0 )

s  
其中 K =  ded 
dá

= −Ed 0 sin á 0

 á =á

2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t) = 1 − e −2t + e −t ，试求系统的传递函数和脉冲 响应。　
解：对输出响应取拉氏变换的：

C (s) = 1 − 1
+ 1 =
s 2 + 4s + 2
因为： C (s) = Ö(s)R(s) = 1 Ö(s)

s s + 2
s + 1
s(s + 1)(s + 2) s

所以系统的传递函数为： Ö(s) =
s 2 + 4s + 2 (s + 1)(s + 2)

= 1 +
s
(s + 1)(s + 2)

= 1 −
1 +
s + 1
2
s + 2

系统的脉冲响应为： g (t ) = ä (t) − e −t + e −2t

2-10 设系统传递函数为

C (s)
　　 =
R(s)


2
s 2 + 3s + 2

且初始条件 c(0)=-1, c& (0)＝０。试求阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。

解：由系统的传递函数得：

2
d c(t) + 3 dc(t) + 2c(t ) = 2r (t )

（1）

dt 2 dt

对式（1）取拉氏变换得：

s 2 C (s) − sc(0) − c&(0) + 3sC (s) − 3c(0) + 2C (s) = 2R(s)

将初始条件代入（2）式得
(s 2 + 3s + 2)C (s) + s + 3 = 2 1
s


（2）

即： C (s) =

2 − s 2 − 3s
=
s(s 2 + 3s + 2)

2 − 2s + 6
s s 2 + 3s + 2

= 1 −
s

4 +
s + 1

2
s + 2

所以： c(t) = 2 − 4e −t + 2e −2t

2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是

6 dc(t ) + 10c(t) = 20e(t )
dt
20 db(t) + 5b(t ) = 10c(t)
dt

且初始条件均为零，试求传递函数 C (s) / R(s) 及 E(s) / R(s)

解：系统结构图及微分方程得：

G(s) =
20
6s + 10

H (s) =
10
20s + 5

10 20


E (s) 10 10

C (s) =
10G(s)
= 6s + 10

R(s)
= =
1 + G(s)H (s)

20 10

R(s)
1 + G(s)H (s) 1 + 20 10
1 +
6s + 10 20s + 5

6s + 10 20s + 5

10(20s + 5)(6s + 10)

1200s 2 + 1500s + 500

0
= 200(20s + 5)
= = 200(20s + 5)
= =
(6s + 10)(20s + 5) + 200

120s 2 + 230s + 250

(6s + 10)(20s + 5) + 200
120s 2 + 230s + 250

2-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数

1
解：（a） Z 0 = R0 // =
C s
R 1
C0 s
1


= R0
T s + 1


T0 = R0 C0

R
0 0 +
0
C0 s

U 0 (s) = − R1
= − R1 (T s + 1)

R
U i (s) Z 0 0

（b） Z 0


= R0


0
0
// 1 =
C s
R 1
C0 s
1


= R0
T s + 1


T0 = R0 C0

R
0 0 +
0
C0 s

1 1
Z = R + 1
= T1 s + 1

T = R C

C1 s
C1 s
1 1 1

U 0 (s) = − Z1 = −

1 (T s + 1)(T s + 1)

U (s) Z
R C s 1 0

i 0 0 1

Z12

= R1

//( R2
+ 1
C2 s

) = R1
// T2 s + 1
C2 s

（c）
1
=
R T2 s + 1
C2 s


= R1 (T2 s + 1)


T2 = R2 C2

1
R + T2 s + 1
C2 s
T2 s + R1 + 1

U 0 (s) = − Z12
= − R1
T2 s + 1

U i (s) R0
R0 T2 s + R1 + 1

2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。　

图2-62 控制系统模拟电路　

解： U1 (s)
= − Z1

（1）
U 2 (s) = − Z 2

（2）
U 0 (s) = − R2 （3）

U 0 (s) + U i (s) R0
U1 (s) R0
U 2 (s) R0

式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得

U 0 (s)
U 0 (s) + U i (s)
= − Z1 Z 2
R0 R0
R2 即
R0

R
3
U 0 (s) + U i (s) = − 0
1 + U i (s) = − 0

U 0 (s)
Z1 Z 2 R2
U 0 (s)
Z1 Z 2 R2

R
所以：
U i (s) = − 0 − 1

U 0 (s)
Z1 Z 2 R2


R
3
R
+
0
R1 1
R
2
2

U 0 (s) = − 1
= − Z1 Z 2 R2
= − T1 s + 1 C2 s

U (s) R 3
R 3 + Z Z R R 1

3
i 0 + 1
Z1 Z 2 R2
3
= − R1 R2
0 1 2 2
3 1 R T1 s + 1 C2 s

(T1 s + 1)C2 sR0
+ R1 R2

2-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求 出电动机的传递函数 Ω m (s) / U a (s) 和 Ω m (s) / M c (s)
解：由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换

U a (s) − Ea (s) = I
L s + R a

(s)

Ea (s) = Ce Ω m

(s)

a a

Cm I a (s) = M m (s)

m
M m (s) − M c (s) = Ω


(s)

J m s + f m
得到系统结构图如下：

Mc

Ua(s)
1 Ia(s) Cm Mm
1 Ωm(s)

－ Las+Ra Jms+fm

Ce

Ω m (s) =
Cm
La s + Ra
1
J m s + f m = Cm

U a (s)
1 + Ce Cm
La s + Ra
1
J m s + f m
(La s + Ra )( J m s + f m ) + Ce Cm

Ω m (s) =
M c (s) 1 +
1
J m s + f m
Ce Cm 1


= La s + Ra
(La s + Ra )( J m s + f m ) + Ce Cm

La s + Ra
J m s + f m

2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度è

max
= 330 o ，功率放大级放大系数为K3,要

求：　
(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；　
(2) 画出系统结构图；　

(3) 简化结构图，求系统传递函数è 0 (s) / è i (s) 。

图2-63 位置随动系统原理图　
解：

（1） K = 15V
0 1650
K = 30 = 3
1 10
K = 20 = 2
2 10

（2）è e (s) = è i (s) − è 0 (s)

U s (s) = K 0è e (s)

U a (s) = K1 K 2 K sU s (s)

U a (s) = Ra I a (s) + La sI a (s) + Eb (s)
M m (s) = Cm I a (s)

0 0 m c
Js 2è (s) + fsè (s) = M (s) − M (s)

系统结构图如下：
Eb (s) = K bè 0 (s)

m
Mc

θi θe

－
θ0

0 K K K
K Us 1 2 s Ua


－ Eb

1
Las+Ra
M － 1 θ0
Js2+fs

C
m
Kb

(3) 系统传递函数è 0 (s) / è i (s)

Cm

K K K K
s(La s + Ra )( Js + f )

0 1 2 s C K
K K K K C

è 0 (s) =
1 + m b
s(La s + Ra )( Js + f )
 0 1 2 s m
= s(La s + Ra )( Js + f ) + Cm K b

è i (s)


1 + K K K K
Cm
s(La s + Ra )( Js + f )
1 + K 0 K1 K 2 K s Cm
s(La s + Ra )( Js + f ) + Cm K b

0 1 2 s C K
1 + m b
s(La s + Ra )( Js + f )
= K 0 K1 K 2 K s Cm
s(La s + Ra )( Js + f ) + Cm K b + K 0 K1 K 2 K s Cm

2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图 2-64 所示：要求

（1） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数

（2） 画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 K 3 /(ô 3 s + 1) ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为

K 4 和 K 5 ；直流电动机的结构图用题 2-14 的结果）；

（3） 简化结构图，求系统传递函数 Ω(s) / U i (s)

解：（1）速调

U ST (s)


= Z1

R1 +
=

1
C1 s


= R1C1 s + 1 = T1 s + 1

U i (s) − U f (s) R
流调
R

1
R2 +
RC1 s
RC1 s

U LT (s)
= Z 2 =
C2 s
= R2 C2 s + 1 = T2 s + 1

U ST (s) − U dlfk (s) R R
RC2 s
RC2 s

（2）系统结构图如下：

K4

Ui T1s+1
RC1s
－
Uf
－
UST


T2s+1
RC2s
ULT

K3 Ua
τ3s+1


－ Eb
－
1 Mm
Cm
Las+Ra Ia

Ce

1 Ω
Jms+fm

K5

(3) 简化结构图，求系统传递函数 Ω(s) / U i (s)

因为求系统传递函数 Ω(s) / U i (s) ，所以令 M c = 0 ，系统结构图如下：

K4

Ui T1s+1

－
Uf
－
UST


T2s+1
RC2s
ULT
K3

3


Ua

－ Eb


1
Las+Ra Ia

1 Ω
Jms+fm

Ce

K5

将 K4 后移到输出Ω，系统结构图化简如下：

Ui T1s+1
RC1s
－
Uf


－
UST


T2s+1
RC2s


ULT

K4

K3 Ua
τ3s+1


－ Eb


1
Las+Ra Ia
Jms+fm
Cm

Cm

Ce


1 Ω
Jms+fm

K5

进一步化简得：

Ui T1s+1
RC1s
－


－
UST


T2s+1
RC2s


ULT

K4

K3 Ua
τ3s+1
Jms+fm
Cm

Cm Ω
（Las+Ra）(Jms+fm)+ Ce Cm

Uf Jms+fm

2
K5

进一步化简得：

Ui T1s+1
RC1s
－
Uf
K3 Cm (T2s+1) Ω
2
Cm{RC2s [(Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm](τ3s+1)}+ K3 K4 Cm(Jms+fm)( T2s+1)

K5

进一步化简得：

Ui


K3 Cm 2 1 Ω

2(T s+1)( T s+1)
2
RC1s {Cm{RC2s [(Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm](τ3s+1)}+ K3 K4 Cm(Jms+fm)( T2s+1)}+ K5 K3 Cm (T2s+1)( T1s+1)

所以：

Ω(s) =
U i (s)


3 m 2 1
K C 2 (T s + 1)(T s + 1)

RC1 s{Cm
{RC2
s[(La s + Ra
)( J
m s + f m
) + Ce Cm
](ô
3 s + 1)}+ K 3 K
4 Cm
( J m
s + f m
)}+ K 5
K 3Cm
(T2 s + 1)(T1 s + 1)

2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。　

解：（a）
图2-65 题2-17系统结构图　

R(s) C(s) G1(s）

G2(s）
－

G2(s)

G3(s)

R(s) C(s) G1(s）
－

G2(s）

G2(s)

G3(s)

R(s)


G1(s)+ G2(s)

1

1+G2(s) G2(s)

C(s)

C (s)
所以： =
R(s)
G1 + G2
1 + G2 G3

（b）

R(s)


G1(s）


G2(s）
C(s)

H1(s）
1+ H1(s)H2(s）

R(s)


G1 (1+ H1H2)

1+ H1H2- G1H1


G2(s）
C(s)

C (s)
所以： =
R(s)
G1G2 (1 + H1 H 2 )
1 + H1 H 2 − G1 H1

(c)

G3

R(s)
G1
－


G2

1+G2H1


C(s)

H2

R(s)
G3

G2
G1
1+G2H1
－


C(s)

G1

H2

R(s)


G1+G3

G2

1+ G2H1+ G1G2H2
C(s)

C (s)
所以： =
R(s)
G2 (G1 + G3 )
1 + G2 H1 + G1G2 H 2

(d)

R(s)
H2/G3
－


C(s)

G1 G2 G3
－ －
H3

H2

R(s)
H2/ G1G3
－
G
3


C(s)

G1 G2
－

1+ G3H3

H2

R(s)
H2/ G1G3

－ G3
G1 G2


C(s)

C (s)
所以： =
R(s)
1+ G1H1

G1G2 G3
(1 + G1 H1 )(1 + G3 H 3 ) + G2 H 2
1+ G3H3

(e)

R(s) C(s)

G1 G2
－

H1/ G3
G3

H2+ H1/ G3

G4

R(s)

G1G2G3

1+ G2G3H2+ H1G2
C(s)

H1/ G3

G4

R(s)

G1G2G3

1+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1
C(s)

G4

C (s)
所以： =
R(s)

G4 +
1 + G G H
G1G2 G3
+ H G


− G G H

2 3 2
1 2 1 2 1

(f)

R(s)
H1 G1

－

G1 G2


C(s)

G3

R(s)


G1+G3
G2

1+ G1G2H1
C(s)

C (s) (G + G )G
所以： = 1 3 2

R(s)
1 + G1G2 H1

2-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。

解：（1）求
C (s)
R(s)

时， N = 0 这时结构图变为：

G G
R C
1 2
－ －

H1

R G1G2 C

－ 1+G1G2H1