初三数学圆知识精讲_首师大版.doc

初三数学圆知识精讲
一. 本周教学内容：
圆
1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。
2. 主要定理：
（1）垂径定理及其推论。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。
（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。
（5）切线的性质及判定。
（6）切线长定理。
（7）相交弦、切割线、割线定理。
（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。
（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。
（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。
（11）正n边形的有关计算。
圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。

二. 中考聚焦：
圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：

圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图：

【典型例题】
例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：

解：

∴点导火索的人非常安全

例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。
分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。
此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。
解：分两种情况讨论：
（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：

过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F
连OC、OB，则CE＝DE
∵AB∥CD，OE⊥CD
∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高
在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：

过O作OE⊥CD于E，交AB于F
以下证法同（1），略。

例3. 如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。

分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为

解：连结BC、BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°
∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC

作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F
则△AEC∽△ADB

∴AC·AD＝AE·AB
同理，BD·BC＝BF·AB

∵△APE∽△BPF

∵P为半径OB的中点

∴tanC·tanD＝3

例4.

分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。
证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC
∴∠ADB＝∠ACB＝60°
∵四边形ABDC是圆内接四边形
∴∠ABE＝∠ACD
在△AEB和△ADC中，

∴AE＝AD
∵∠ADB＝60°
∴△AED是等边三角形
∴AD＝DE＝DB＋BE
∵BE＝DC
∴DB＋DC＝DA
说明：本例也可以用其他方法证明。如：
（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。
（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。

例5. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。

分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。
解：连结OD，BD

∴∠ABC＝∠AOD
∴OD∥BC

∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO

∴AB＝16，BE＝24
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠EDA＝∠EBC
∵∠E是公共角
∴△EDA∽△EBC

设AD＝DC＝x，ED＝y，则有

∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝∠F＝90°
又∠DAB＝∠FCB
∴Rt△ADB∽Rt△CFB

说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。
此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。
例6. 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于

解：连结FD
∵AB是直径，∴AD⊥BC
∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB
∵四边形ABDF是圆内接四边形
∴∠CFD＝∠B
∵∠C是公共角
∴△ABC∽△DFC

∵AB＝AC
∴CD＝DF
（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。）
∵DE切⊙O于D
∴∠FAD＝∠EDF
又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB
∴∠CDE＝∠DAB
∴∠CDE＝∠EDF
∵CD＝FD
∴CE＝EF，DE⊥CF

∴设CD＝3x，AC＝5x

∴EC＝9

例7. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。

解：∵公共弦AB＝120

例8. （2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。
（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果

解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可。

解：（1）如图（2），作O1E⊥O2O3

∴四边形ABCD的面积是：

（2）制作一个烟盒至少需要纸张：

例9. 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。

如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm

故所求弓形的高为4cm或16cm

例10.
∠CAD所夹圆内部分的面积。
解：符合题设条件的图形有两种情况：
（1）圆心O在∠CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点E

∴OC⊥AB

（2）圆心O在∠DAC的外部时，如图（2），有：

例11.

分析：由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。
解：（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结OD、OB。
∵M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O

图（1）
（2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2），连结OB、OC

图（2）
（3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的内部时，如图（3），∠DPA是圆内角，

图（3）
（4）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的外部时，如图（4）

图（4）
例12. （长沙市，2000）已知：如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：（1）求证△AOB∽△NPB；（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r2＝3：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B’（x2，0），若x1·x2＝-6，求过B’、A、B三点的抛物线解析式；（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC＝时，B点在x轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？

解：（1）

设直线MP的解析式为y＝kx＋b，

（3）设抛物线为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
令y＝0，则有ax2＋bx＋c＝0
∵B与B’关于y轴对称，
∴x1＋x2＝0，即b＝0，
又点A（0，-3），∴C=-3

（4）∵MC＝MP
∴可证△APM≌△AOB

猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。

【模拟试题】
一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案）
1. 已知AB是⊙O的直径，半径EO⊥AB于O，弦CD⊥EO于F点，若∠CDB＝120°，则的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 30° D. 60°
2. 如图，已知⊙O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130°、90°，则∠MON的度数为（ ）
A. 70° B. 90° C. 130° D. 160°

3. 已知△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，若r是内切圆半径，则△ABC的面积可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（ ）
A. 外离或外切 B. 相交或内切
C. 外切或内切 D. 内切或内含
5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题：（本题共16分，每小题4分）
7. 已知△ABC，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_____________。
8. 已知△ABC内接于⊙O，F、E是的三分之一点，若∠AFE＝130°，则∠C＝____________度。
9. 已知PA切⊙O于A，∠APO＝30°，若，OP交于⊙O于C，则PC＝____________。
10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。

三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分）
11. 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若弦CD把⊙O分为2：1的两部分，且，求⊙O的直径及AE长。
12. 已知等边△ABC内接于⊙O，E是上一点，AE交BC于D，若BD：DC＝2：1，且AB＝6，求DE长。
13. 如图所示，AB是⊙O的弦，EF切⊙O于B，AC⊥EF于C。
求证：

四. 解答题：（本题共24分，每小题8分）
14. 如图所示，AB切⊙O于B，AE过O点交⊙O于E、C，过C作⊙O切线交AB于D，若。
求证：

15. 如图所示，△ABC中，∠A＝90°，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB＝3，AC＝4，求阴影部分的面积。

16. 如图所示，⊙O与⊙O'交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问因割线CAD的位置不确定，∠CBD的大小是否改变？

五. 解答题：（本题共18分，每小题9分）
17. 如图所示，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B、C，若，AE交BC于D，且∠BEA＝30°，DB＝1，求AP及PB长。

18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？

[参考答案]
一. 选择题。
1. D
2. D
3. B
提示：设△ABC的内切圆的圆心为O
连结OA、OB、OC，则△ABC可分割成三个三角形：△ABO，△BCO，△ACO
则

应选B
4. C
提示：依题意，有：

所以，或
即，或
两圆内切或外切
5. C
提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有
因为，，所以
则，是正五边形，应选C。
6. D
提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE＝EF＝FH

设EF＝x，则根据勾股定理，
则有
即

应选D
二. 填空题。
7. 56°
8. 75°或105°
提示：如图所示：

∵∠AFE＝130°，∴的度数为260°
则的度数为
∵F、E是的三分之一点

或
9. 12
10. 3：1
如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r
则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为
因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方
即

三. 求解下列各题：
11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2）点E在OB上

（1）∵直径AB⊥弦CD于E，
∴根据垂径定理，有：
A、B分别为和的中点
∵CD把⊙O分成2：1两部分
∴的度数为120°，的度数为240°
连结BC，则
在中，

（2）当点E在OB上时，AE＝6
∴直径为8，AE＝6或2
12. 解法一：如图（1），∵△ABC是等边三角形，AB＝6

图（1）
∴BC＝AB＝AC＝6，∠B＝∠ACB＝60°
∵BD：DC＝2：1
∴BD＝4，CD＝2
∴AD·DE＝BD·CD＝8
连结CE，∵∠B＝∠E＝60°
∴∠ACB＝∠E
∵∠CAD是公共角
∴△ACD∽△AEC

解法二：如图（2），过A作AG⊥BC于G

图（2）
∵△ABC是等边三角形，BC＝6
∴CG＝GB＝3
由解法一得：CD＝2，BD＝4
∴DG＝1
在中，
在中，
根据相交弦定理，有：

13. 证明一：延长AD交⊙O于D，连结BD，如图（1）

∵AD是直径，∴∠ABD＝90°，2AO＝AD
∵EF切⊙O于B
∴∠1＝∠D
∵AC⊥EF于C
∴∠C＝∠ABD＝90°
∴△ABC∽△ADB

即
证明二：延长AC至M，使CM＝AC，连结BM、OB

图（2）
∵BC⊥AC，AC＝CM
∴MB＝AB
∴∠M＝∠2
∵OA＝OB
∴∠3＝∠4
∵EF切⊙O于B
∴OB⊥EF
∴AC∥OB
∴∠2＝∠3
∴∠2＝∠3＝∠4＝∠M

四. 解答题。
14. 证明：如图，依题意，设BD＝x，则AD＝2x

∵AB、CD切⊙O于B、C点
∴BD＝CD＝x，OC⊥CD
∴∠ACD＝90°

∵AB是切线，ACE是割线

即

15. 解：如图，连结OD，OE

∵AB、AC切⊙O于D、E
∴OD⊥AB，OE⊥AC，AD＝AE
∵∠A＝90°
∴四边形ADOE是正方形
∴∠DOE＝90°
设AD＝OE＝x
∵DE∥AD，AB＝3，AC＝4

解得：

16. 解：大小不改变

∵∠C所对的弧为
∠D所对的弧为
∴∠C、∠D的度数不变
在△BCD中，不变
五. 解答题。
17. 解：如图，连结AB

∵，BC是直径
∴根据垂径定理的推论，可知：
AD⊥BC，AD＝DE，
∵∠BEA＝30°
∴∠DAB＝∠E＝∠BAP＝30°
在

∵AD⊥BC，BC为直径
，即

18. 解：如图（1）：

图（1）
依题意有：
⊙O1的直径为10cm，则半径为5cm
⊙O2的直径为20cm，则半径为10cm
⊙O的直径为30cm，则半径为15cm
设⊙O与⊙O1，⊙O2，⊙O3相切，半径为r
延长OO3交⊙O于B，则：

则此题转化为解三角形问题，如图（2）：

图（2）
设，则

在和中，有：

在和中，有：

整理得：

得：

答：这两个圆形的最大半径是。

用心 爱心 专心 119号编辑 27