山东省德州市2013届高三上学期期末模拟理科数学.doc

高三期末考前模考数学理科试题
2013-1-20
一、选择题：
1. 复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. -1 D. – i
2．已知等比数列{}的前n项和，则…等于（　）
A．　 　B． 　　C．　　　　D．
3．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中
程序只能出现在第一或最后一步， 程序和在实施时必
须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种 B．种 C．种　 D．种

4．设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．

6．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ）
A. 2 B. +1 C. D. 1
7．已知等差数列的前项和为，且，则( )
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距
离之和等于5,则这样的直线
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
9．已知是所在平面内一点，为边中点，且，则( )
A． B． C． D．

10.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像 （ ） [来
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
11.已知函数，若且，则的取值范围( )
A. B. C. D.
12.已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状， 记表示第行的第个数，则=( )
A. B.   C. D.

二、填空题：
13. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .
14．设二次函数的值域为，则的最大值为
15.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
＜
16.已知，则不等式的解集是

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．求：
（I）求sin A的值；（II）求三角函数式的取值范围．

18、 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）
（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；
（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．

19、在数列中，
（1）求数列的通项；
（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.

20． 设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1，F2两点的距离之和等于4.
⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;
⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

21. 已知椭圆过点，且离心率e＝.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

22.已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

高三期末考前模考数学理科试题参考答案
1-5 CDCBA 6-10 BABBC 11-12 CB
13. 14. 15. 16. (]
17. 解：（I）∵，∴， 根据正弦定理，得，
又，
，，，又；sinA=……6
（II）原式，
，
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是． ……………………………12分

18、（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题意可得 …………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有P(ξ=0) ………6分
P(ξ=1)，
P(ξ=2) ，…………………………………9分
ξ
0
1
2
3
P

P(ξ=3) …………………………………………………10分
所以ξ的分布列为：
故Eξ=0×+1×+2×+3×=……………………………12分
19、解：（1） ……………… 6分
（2）由（1）可知当时，
设 ……………… 8分
则又及，所以所求实数的最小值为 ……………… 12分

20.⑴椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；
又点A(1,) 在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；所以椭圆C的方程为，⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，∴设D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆C的方程得   x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1
∴DE方程为y-1= -1(x-),即4x+4y=5;
(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得
（m2+4)y2+2my-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-, y1y2=-,且△>0成立.
又S△OMN=|y1-y2|=×=，设t=≥,则
S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S△OMN最大，
此时m=0,∴MN方程为x=1（Ⅱ）设 由消去并整理得 …………8分∵直线与椭圆有两个交点
，即
又 中点的坐标为……10分
设的垂直平分线方程：
在上 即
……11分
将上式代入得
即或 的取值范围为……12分
22.（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程；
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，
令，则，所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．   
当，即，当，即，…13分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是3．