南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题.doc

南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题
(总分160分，考试时间120分钟)
参考公式:
样本数据的方差, 其中.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知集合, , 则= ▲ .
2.复数的共轭复数是 ▲ ．
3.已知某人连续次投掷飞镖的环数分别是, , , , , 则该组数据的方差为 ▲ .
4.袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意
摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 ▲ .
5.在等差数列中, 若, 则其前9项和的值
为 ▲ ．
6.设满足约束条件, 则目标函数的
最大值为 ▲ ．
7.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 ▲ .
8.将函数的图像向左平移个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则的最小值为 ▲ .
9.现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.
则所有真命题的序号是 ▲ ．
10. 在中, 若, 则的值为 ▲ ．
11.如图, 在等腰三角形中, 底边, , , 若, 则= ▲ ．
12.已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点是
椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 ▲ ．
13.若,满足, 则的值为 ▲ ．
14.已知函数, 若关于的方程有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数的值域为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
在直三棱柱中, , 为棱上任一点.
(1)求证：直线∥平面；
(2)求证：平面⊥平面.

16．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若cos(A＋)＝sinA，求A的值；
(2)若cosA＝，4b＝c，求sinB的值．

17．(本小题满分14分)
近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式；
(2)当为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？

18. (本小题满分16分)
如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.
①若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程；
②若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

19．(本小题满分16分)
对于定义在区间上的函数, 若任给, 均有, 则称函数在区间上封闭.
试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；
若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；
若函数在区间上封闭, 求的值.

20．(本小题满分16分)
若数列是首项为, 公差为6的等差数列；数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和；
(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立（其中, ）, 试求实数的取值范围．

南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，圆的直径, 为圆周上一点, , 过作圆的切线, 过作直线的垂线, 为垂足, 与圆交于点, 求线段的长．

B.（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值.

D．(选修4-5：不等式选讲）
设都是正数, 且=1, 求证：.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为, 乙的命中率为, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.
若, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为, 如果, 求的取值范围.

23．（本小题满分10分）
已知, 其中．
(1)若展开式中含项的系数为14, 求的值；
(2)当时, 求证：必可表示成的形式.

2013届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 27 6. 26 7.3 8.
9. ①③④ 10. 11. 0 12. 13.－1 14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(1)证明:由直三棱柱,得……………………………………………………4分
而,所以直线∥平面…………………………………………7分
(2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,
而,,且,所以……………11分
又,所以平面⊥平面……………………………………………………14分
17．解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费………………………………2分
由,得 …………………………………………3分
所以……………………………7分
(2)因为 ………………10分
当且仅当,即时取等号 …………………………13分
所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元………………………………………………14分
(说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分)
18．解: (1)由，，得，故椭圆方程为………………3分
又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为………5分
(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,
又由, ,得的中点为，而，
所以的中垂线方程为，由，得 …………………8分
所以圆T的半径为，
故的外接圆的方程为………………10分
(说明:该圆的一般式方程为)
(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，
直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，
整理得，得，
所以，整理得， ………13分
又
=，所以为定值………………16分
19．解: (1)在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0]………2分
而[-1,0],所以在区间上不是封闭的……………… 4分
(2)因为,
①当时,函数的值域为,适合题意……………5分
②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,
由,得,解得,故……………………7分
③当时,在区间上有,显然不合题意 …………………8分
综上所述, 实数的取值范围是……………………………9分
(3)因为,所以,
所以在上单调递减,在上递增,在上递增.
①当时,在区间上递增,所以,此时无解…………………………10分
②当时,因,矛盾,不合题意………………………11分
③当时,因为都在函数的值域内,故,
又,解得,从而 ………12分
④当时,在区间上递减, (*),
而,经检验,均不合(*)式……………………………13分
⑤当时,因,矛盾,不合题意…………14分
⑥当时,在区间上递增,所以,此时无解 …………………………15分
综上所述,所求整数的值为…………………16分
20．解: (1)因为是等差数列,所以…………2分
而数列的前项和为,所以当时, ,
又,所以 ……………………4分
(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以 ………………5分
对任意的,由于,
令,则,所以命题成立 …7分
数列的前项和 …………………9分
(3)易得,
由于当时, ,所以
①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得
,即,解得,…………………13分
②若,即,则当时,是递增数列,,
故由题意得,即,解得…………………14分
③若,即,
则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,
则由题意,得,即,解得……………………15分
综上所述,的取值范围是或……………16分

附加题答案
21. A、解：连结，则．
∵,∴, 即为正三角形,
∴……………………………………………4分
又直线切⊙与， ∴，
∵， ∴ ………………………6分
而, ∴ ………8分
在Rt△BAE中，∠EBA=30°，∴……………10分
B．解：矩阵M的特征多项式为=……………1分
因为方程的一根，所以……………………………………3分
由,得………………………………………… 5分
设对应的一个特征向量为,则,得……………8分
令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为…………10分
C．解:圆的方程可化为,所以圆心为,半径为2…………………3分
又直线方程可化为…………………………………………… 5分
所以圆心到直线的距离，故…………………………10分
D．解:因为是正数，所以………………………………………5分
同理，将上述不等式两边相乘，
得,
因为,所以……………………………10分
22. 解: (1)可得…………………………………………4分
(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为
,而～,所以,
由,知,解得………………………………10分
23.解: (1)因为,所以，故项的系数为，解得………5分
(2)由二项式定理可知,,
设，而若有，，
则,…………………………………………………………7分
∵，
∴令，则必有……………………………………………………9分
∴必可表示成的形式，其中 ……………………………10分
注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数．