全国初中数学竞赛试题及答案（1998年）.doc

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一九九八年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、 填空题
1.设,那么的整数部分是 .
2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.
3.已知,那么代数式的值是 .
4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是 .
5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米.

6.满足19982+=19972+的整数对,共有 个.
7.设平方数是11 个相继整数的平方和,则的最小值是 .
8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.

9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.

10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.
11.设为实数,那么的最小值是__________.
12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.
13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.
14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米.
15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,
r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)
现有一本书的书号是962707015,那么= .
第二试
1. 求所有正实数,使得方程仅有整数根.
2. 已知P为▱ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:
(1) P,Q,O三点在一条直线上;
(2) PQ=2OQ.

3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一 九 九 八 年
第 一 试
1． 3
，，
∴ ，.
2．
如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E. ，
，，又∽，，∴.
3．2

.
4．3
因为m、n为有理数，方程一根为，那么另一个根为，由韦达定理.
得 ，，∴.
5．
由原图 ，
∴
(厘米).
6．16
,
.
显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共(个).
7．11
11个相继整数的平方和为

,
则y最小时，从而，∴.
8．
∵ ∽，
，
,
∴ ，.
.
9．
∵ ，同理,
由原图，连BG.
记，，，.
又由已知 ，，
解之得 ， .
∴ .
10．13
由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,…,n
≤100,
∴ n≤13，所以至多有13人.
11．-1

≥-1.
当 ，，
即 ，时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.
12．73
对
(1≤m<n≤98 m,n为整数)
因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.
13．15
设算式
a
c
f
B
b
e
A
d
h
+
g
显然：g=1,d=9,h=0.
a+c+f=10+B
b+e=9+A

∴ A≤6.
.
∴ .
欲令A·B最大，取A=5，B=3，此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7，故A·B最大值为15.
14．
如图，，，.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆,
，
，
∴ ∽，
，
(厘米).
15．7

∴ S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知，S被11除所得的余数是11-5=6，因此7y被11除所得余数为
6-1=5, ∴y=7

第 二 试
一、设两整数根为x,y(x≤y)，
则
≤y≤a,4≤x≤8.可推出， ∴ ，由于x为整数,
∴ 时，，； 时，，；
时，a不是整数；时，，.
于是或18或16均为所求.
说明 没有说明理由，仅指出a的每一个正确值给4分.
二、证明 如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点,.
在中，∵，，
∴为重心，
在中，∵，，
∴为重心，
这样，并且,就是AN，DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上，且.
三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）
以上5个数可用以下步骤找出：
第一步：2,3,4为满足要求的三个数.
第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.
第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.

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