中考数学专题复习教学简案之反比例函数.doc

中考数学专题复习　反比例函数

【课标要求】
结合具体情境理解反比例函数的概念．
会画反比例函数的图象．
能依据已知条件确定反比例函数的解析式．
根据图象和解析式 （k¹0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）．
能用反比例函数解决某些实际问题．
【知识梳理】
1．反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成( k是常数，k≠0)的形式，那么y就称为x的反比例函数．反比例函数的三种不同表达形式：
①； ② y=kx-1； ③ xy=k
说明：①k是不为0的常数；
②自变量x 取值范围是x≠0的全体实数；
③函数y的取值范围是y≠0的全体实数．
2．反比例函数解析式的确定：
确定函数解析式常用的方法是待定系数法．在反比例函数式中，因为只有一个待定系数k，所以只需要一个条件，即知道一对对应值或一个点的坐标，就可以求出k的值，从而确定反比例函数解析式．
3．反比例函数的图象：
反比例函数（k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线常称为“双曲线”．
画反比例函数图象时，一般用描点法，即列表、描点、连线三大步骤．
说明：①双曲线的两个分支不能够连接起来；
②两个分支无限靠近x轴和y轴，但是永远与它们不相交；
③图象既是轴对称图形，也是中心对称图形；
④画反比例函数图象时通常先画出一个分支，然后根据对称性画出另一个分支．
4．反比例函数的性质：
①自变量的取值范围是的实数．
②函数的图象是双曲线（两个分支），是中心对称图形，对称中心是坐标原点；也是轴对称图形，对称轴有两条，分别是直线和．
③图象分布情况：当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限内；
当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限内．
④函数的增减性：当时，在每个象限内，随的增大而减小；
当时，在每个象限内，随的增大而增大．
⑤图象的变化趋势：函数图象无限靠近坐标轴，但是永远不会和坐标轴相交．
5．反比例函数中的几何意义：
如果过反比例函数图象上任意一点P分别作x轴和y轴的垂线，那么它们与两条坐标轴所围成的矩形的面积就是．
6．反比例函数与一次函数的比较：

一次函数
反比例函数
解析式
y=kx+b（k≠0）

自变量取值范围
全体实数
x≠0的实数
函数值取值范围
全体实数
y≠0的实数
函数图象
直线
双曲线
解析式的确定
两个点的坐标
一个点的坐标
增减性
k>0
y随x 增大而增大
同一象限内y随x 增大而减小
K<0
y随x 增大而减小
同一象限内y随x 增大而增大
图象分布情况
k>0
必过一、三象限
分布在一、三象限
K<0
必过二、四象限
分布在二、四象限

【典型例题解析】
1．反比例函数概念
例1：已知函数y=y1+y2，y1与x 成反比例，y2与x 成正比例，并且当x=1时，y=4；当x=-2时y=-5，求y与x的函数解析式．
分析：因为y与x 的关系不是很明确，所以不能够直接求出y与x的函数解析式．但是y=y1+y2，而y1、y2分别与x 成反比例和正比例关系，于是根据定义可以分别设，y2=k2x，所以y=y1+y2=+ k2x．然后将x 与y的对应值代入，建立方程组求出k1、k2的值．
解：∵y1与x 成反比例， 可设；
∵y2与x 成正比例， 可设y2=k2x，
∴y=y1+y2=+ k2x． 由已知条件得到：
， ∴ ∴y=+2x．
点评：用待定系数法求函数解析式时，同一问题中的不同函数关系式中的比例系数应该区别开，不能够设为同一个比例系数．本题中k1、k2相同只是巧合．

2．反比例函数的图象和性质
例2：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如图3-4-1所示．
(1) 求p与S之间的函数关系式；
(2) 求当S＝0.5 m2时物体承受的压强p．
分析：（1）因为p与S是反比例函数，所以根据反比例函数的概念，设其关系式为，然后根据图象可知，点A（0.1，1000）在函数图象上，代入求出的值；（2）就是当自变量时求函数值．
解：（1）设，因为A（0.1，1000）在函数图象上，所以，即
∴ p与S之间的函数关系式为
（2）当时， ．
点评：理解反比例函数的概念是关键，知道反比例函数的表达式可以是，也可以是．用反比例函数可以解决生活或其他学科中的实际问题．解决此类问题首先要建立反比例函数模型，将实际问题转化为数学问题，通过求反比例函数解析式解决．

例3：在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(k≠0)的图象大致是（ ）
y
x
O
A
y
x
O
B
y
x
O
C
y
x
O
D

分析：对于函数图象的大致位置的判定，主要看、，观察图象A，反比例函数图象位于第一、三象限，所以，但是对于一次函数，所以两者不符；同理图象B也不对；图象C中，反比例函数的，那么对于一次函数，因为，所以图象与轴的交点应该在轴的下方，因此排除答案C；同样的方法可以确定D是正确的．
解：D．
点评：关于同一坐标系中函数图象位置的判定问题，一般通过对、的符号和图象的分布、与坐标轴的交点等情况的分析，采用排除法可以很快排除错误的选项．

例4：已知函数是反比例函数．
（1）若函数图象在一、三象限，求m的值；
（2）若在每个象限内，y随着x的增大而增大，求m的值．
分析：（1）根据函数图象的分布情况，可以确定比例系数的取值范围；（2）根据反比例函数的增减性也可以确定比例系数的取值范围．
解：（1）∵反比例函数图象在一、三象限，
∴
由①得，m>1；由②得，m1=-1，m2=2，∴m=2．
（2）∵反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴
由①得，m<1；由②得，m1=-1，m2=2，∴m=-1．
点评：本题需要结合反比例函数的概念和性质解题，因此既要考虑x的指数是-1，还要考虑由反比例函数图象分布情况及增减性决定其比例系数的取值范围，二者缺一不可．

例5：画函数的图象．
分析与解：我们还是采用描点法来画函数的图象，但是因为函数中x≠1，y≠0，所以列表如下：
x
-0.5
0
0.5
1.5
2
2.5
y
-
-1
-2
2
1

图3-4-2
然后描点、连线，得到函数的图象，如图3-4-2。
M（2，m）
x
y
O
N（-1，-4）
（图3-14）
图3-4-3

3．反比例函数与其他函数的综合
例6：如图3-4-3，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
分析：（1）因为两个函数的图象都经过点M、N，所以点M、N的坐标都适合这两个函数关系式，分别代入到这两个函数式中，建立方程或方程组就可以求出、、的值，从而求出函数式；（2）反比例函数的值大于一次函数的值在图象上看，就是反比例函数的图象在一次函数图象上方，因为在交点M、N处的函数值是相等的，因此反比例函数的图象在一次函数图象上方时x的取值范围分为两部分，即或．
解：（1）将N（1，4）代入中 得k=4
反比例函数的解析式为
将M（2，m）代入解析式中 得m=2
将M（2，2），N（1，4）代入中
解得a=2 b=-2
一次函数的解析式为．
（2）由图象可知：当x＜1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值．
点评：反比例函数单独命题较少，常与一次函数结合．待定系数法是求函数式的重要方法，因为反比例函数中只有一个待定系数，所以只需要一个点的坐标或一组对应值，同时要注意自变量的条件．函数图象的交点就是两个函数式组成的方程组的解；反过来，知道交点坐标，就知道了方程组的解，可以求出方程中的待定系数，从而求出函数式．

图3-4-4
例7：如图3-4-4，的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥轴于B，且．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和的面积．
分析：（1）要求函数的解析式关键是求出点A的坐标，于是设A，然后将线段OB、AB的长度表示出来，根据，可以求出，从而得到两个函数解析式．（2）求交点的坐标就是联立两个函数式，组成方程组，再解出方程组的解，得到交点的坐标．而的面积一般不能够直接求出，而是转化为有一边在坐标轴上的三角形的面积的和或差．设直线AC与轴交于点D，则D点坐标为，所以OD=2，于是和的面积之和就是的面积．
解：（1）设A， ∵， ∴， ∴，
， ∵点A在第四象限内， ∴，
∴反比例函数式为， 一次函数的解析式为．
（2）由题意得 解这个方程组得 ，．
∴A点的坐标为，C点的坐标为． 设直线AC与轴交于点D，则D点坐标为． （平方单位）．
点评：一次函数与反比例函数图象中的面积问题一般转化为三角形的面积来求，而且这样的三角形通常至少有一边在坐标轴上，三角形的高就是另一点的横坐标或纵坐标的绝对值．

4．反比例函数实际应用
例8：某地去年电价为0.8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0.55-0.75元之间．经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与（x-0.4）元成反比例．当x=0.65元时，y=0.8．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？（收益=用电量×实际电价－用电量×成本价）
分析：（1）y与（x-0.4）成反比例，可以设，但是y与x之间不是反比例函数关系，如果把（x-0.4）看成一个变量，那么y与（x-0.4）成反比例函数关系．
再由条件x=0.65时，y=0.8求出k的值，从而确定y与x 之间的关系式．
（2）需要理解关系式：收益=用电量×实际电价－用电量×成本价=（实际电价－成本价）×用电量，去年的用电量是1亿度，实际电价是0.8元，成本价是0.3元，因此去年的收益是亿元，今年的用电量是（1+y）亿度，所以今年的收益是亿元，又今年的收益比去年增加20%，所以应该是亿元，于是可以建立方程：=，求出x 的值，再根据题意进行取舍．
解：（1）∵y与（x-0.4）成反比例，∴设（k≠0），
将x=0.65，y=0.8代入，
即，∴k=0.2，
∴．∴y与x 之间的函数关系式是．（2）由题意：

即 x2-1.1x+0.3=0，∴x1=0.5，x2=0.6，
经检验，x1、x2是原方程的解，但是x的取值范围是0.55-0.75，因此x=0.6．
因此，电价调至0.6元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%．
点评：本题主要是用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合方程的知识解决问题．

5．反比例函数探索型问题
例9：如图3-4-5，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连结OA.
⑴如图3-4-5图①，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由.
⑵如图3-4-5图②，在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结OB交AP于点C.设△AOP的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2大小关系是S1__________S2(填“>”或“<”或“=”).
⑶如图3-4-5图③，AO的延长线与双曲线的另一个交点为点F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连结AH、PF，试证明四边形APFH的面积为一常数.

图① 图② 图③
图3-4-5
分析：解决本题的关键在第一问，而且问题是逐步递进的．（1）由反比例函数得到，xy=1，即双曲线上任意一点的横、纵坐标的乘积是一个常数，该常数的绝对值就是过这点分别作坐标轴的垂线所得到的矩形的面积．因此Rt△AOP的面积就是常数．（2）由（1）可以知道，Rt△AOP与Rt△BOD的面积都为，而梯形BCPD的面积可以通过“割补法”，即梯形BCPD的面积= Rt△BOD的面积－Rt△COP的面积，所以S1＞S2．（3）根据图象的中心对称性，得到点A、F关于原点O成中心对称，证明四边形APEH是平行四边形，或说明四个小三角形的面积相等，得到四边形APEH的面积就是Rt△AOP面积的4倍．
解：（1）不变；设点A的坐标为（m，n），则m＞0，n＞0，且mn=1，所以，即当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积不变，是一个常数．
（2）S1>S2．由（1）可知，，∵，∴S1>S2．
（3）∵点A、F关于点O成中心对称，FH⊥x轴，∴△APO≌△FHO，
∴OP=OH，∴四边形APFH是平行四边形，∴平行四边形APFH的面积=4=2=常数．

【实战演练】
A组

一、选择题

1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．=k B． C． D．
2．已知反比例函数过点（2，3），则函数y=－kx的解析式是（ ）
A． B．y=-3x C．y=6x D．y=-6x
3．函数 (x<0) 的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的反比例函数 B．当x＞0时，y随着x的增大而增大
C．当x＜0时，y随着x 的增大而减小 D．在每个象限内，y随着x的增大而增大
5．在公式是，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象表示为( )

6．当K＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是图中的（ ）

二、填空题

7．已知某施工队要修长500米的水渠，写出修建时间t（天）与每天修建的速度v（米/天）的函数关系式为__________．
8．已知y与x 成反比例，并且当x =2时，y=－1，则当y=－3时x的值为____________．
9．函数y=的自变量x的取值范围是 ，当x>0时，y随x的增大而 ；
10．同一坐标系中，函数与函数的图象有公共点，则mn_____0.
11．P点为反比例函数图象上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为 ．

三、解答题
12．现有一水塔，水塔内装有20m3水，如果每小时从排水管中放水xm3，则要经过y（小时）就可以把水放完．
（1）求y 与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）当x=4m3时，求时间y的值．

13．已知y=．
（1）若y是x的正比例函数，求k的值．
（2）若y是x 的反比例函数，求k的值．

14．已知y=y1+y2，y1与x成反比例，y2与x 成正比例，且当x=2时，y=2；当x=4时y=，求y与x之间的函数关系式．

15．反比例函数的图象经过点A(2 ，3)，
⑴求这个函数的解析式；
⑵请判断点B(1 ，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

16．已知反比例函数的图象经过点P（2，6），请你再写出至少4个不同于点P，且在该函数图象上的点的坐标．

17．已知一次函数y=kx+k的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点B（4，n），求k，n的值．

18．M（2，2）
x
y
O
N（-1，m）
（图3-14）

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围．

B组
一、选择题
1．下列函数在第一象限内，y随着x的增大而减小的是 （ ）
① ②y=-x+1 ③ ④
A．① ② B．③ ④ C．①③ D．②④
2．正比例函数y=（m2+1）x的图象与反比例函数的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），当x1＜x2＜0时，有y1＞y2，那么m的取值范围是 （ ）
A． m＜ B．m＞ C．m>2 D．m＜0
4．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）
A、直线＝上 B、直线＝－上
C、抛物线＝上 D、双曲线上
5．如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作 x轴的垂线PQ交双曲线于点Q，连结OQ，当点P沿x轴正半轴方向运动时，Rt△QOP的面积（ ）
A. 逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变 D.无法确定
6．第6题
如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此观察得到的大小关系为（）
A．>>
B．>>
C．>>
D．>>
7．已知反比例函数（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＞x2，则y1－y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
8．已知一次函数y=k1x+b，y随x的增大而减小，且b>0，反比例函数y=中的k2与k1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是 ( )
x
y
x
y
x
y
x
y
O
O
O
O
A
B
C
D

二、填空题
9．当m=_______时，y=是反比例函数．
10．如果点（a，-2a）在函数的图象上，那么k 0．（填“＞”或“＜”）
11．反比例函数中，当x=－2时，y=_______，当x＜－2时，y的取值范围是__________，当0＞x＞－2时，y的取值范围是___________．
12．设有反比例函数，且、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________．
13．已知反比例函数的图象与直线y=2x和直线y=x+1过同一点，则当x＞0时，反比例函数的函数值y随x的增大而__ ______．

三、解答题：
14．已知点P在直角坐标系中，它的横坐标是纵坐标的3倍，请你写出两个过P点的函数表达式．

15．若反比例函数的图象经过点（1，3）．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求一次函数与该反比例函数的图象的交点坐标．

16．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、第三象限，且OA=OB=AC=BD.试求一次函数和反比例函数的解析式．

17．如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 若△AOB 的面积S=24,求k的值．

18．关于x 的一次函数y=-2x+m与反比例函数的图象都经过点A（-2，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求一次函数与反比例函数的另一个交点B的坐标；
（3）求三角形AOB的面积．

19．如图，反比例函数y= ( k＜0)的图象经过点A(-，m)，过A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为．
(1)求k和m的值；
(2)若过A点的直线y=ax+b与x轴交于C点，且∠ACO=30°，求此直线的解析式．

参考答案：
A组
1~6：B D B C D B
7、
8、
9、x≠0，减小
10、＞
11、4
12、解：（1），其中x＞0；
（2）函数图象只是在第一象限内的一个分支；（图略）
（3）当x=4时，=5（小时）．
13、解：（1） ，∴k=1；
（2） ，∴k=-1；
14、解：设，y2=k2x，∴y=y1+y2=+ k2x，
由题得： ，解得 ，∴y=．
15、解：（1）因为点（2，3）在反比例函数图象上，所以k=xy，即k=2×3=6，所以反比例函数解析式是．
（2）点B在该反比例函数图象上．因为1×6=6=k．
16、解：∵反比例函数图象上的点的坐标特征为xy=k=定值，而k=2×6=12，∴分别令x=1，-1，3，-4，可得对应的y=12，-12，4，-3，∴在该反比例函数图象上的四个点为：（1，12）、（-1，-12）、（3，4）、（-4，-3）．
17、因为8=4n，所以n=2；将B（4，2）的坐标代入直线解析式，可以求出k=．
18、解：（1）将M（2，2）代入中 得k=4
反比例函数的解析式为
将N（-1，m）代入解析式中 得m＝－4
将M（2，2），N（1，4）代入中
解得a=2 b=-2
一次函数的解析式为．
（2）由图象可知：当-1<x<０或x>2时反比例函数的值小于一次函数的值．

B组
1~8 A C B D C C D C
9、1
10、＜
11、2，0＜y＜2，y＞2
12、k＜-1
13、减小
14、解:设点P（3a，a），不妨令a=1，∴P（3，1），
若过点P的函数为正比例函数，设y=k1x，∴1=3k1，∴k1=，则y=x．
若过点P的函数为反比例函数，设y=，∴k2=xy=3，则y=．
15、解：（1）设，∴k=xy=3，∴；
（2）由 得到 ，即2x2+x-3=0，∴x1=，x2=1；
当x1=时，y1=-2；当x2=1时，y2=3；
∴一次函数与该反比例函数图象的交点坐标为（，-2）（1，3）．
16、解：∵A点坐标为（2，0），∴OA=2，∵OA=OB=AC=BD，∴OA=OB=2，AC=2，∴点B的坐标为（0，-2）
设直线AB的解析式为y=kx+b，∴ ，∴ ．
∴直线AB的解析式为 y=x-2．
过点C作CE⊥x轴于点E，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴∠CAE=45°，
∴CE=AE，∵AC=2，∴在Rt△ACE中，CE2+AE2=AC2，∴2AE2=4，∴AE=．
∴C点的坐标为（2+，）．
设反比例函数为（，为常数），∵双曲线过点C，∴=，
∴，∴反比例函数解析式为：．
17.
＝

18、解：（1）把点A（-2，1）的坐标代入到函数解析式中，求出m=-3，n=-3；所以一次函数的解析式为y=-2x-3，反比例函数解析式为．
（2）解方程组 ，解得 ， ．
所以B的坐标为（，-4）．
（3）．
19、解：（1）由题得OB=，AB=m＞0，又=，
所以m=2，即A（－，2），所以k=－2．
（2）过A点的直线y=ax+b与x轴交于C点，且∠ACO=30°，所以在直角三角形ACB中，AB=2，因此BC=2．因为点C的位置没有确定，所以分两种情况讨论：
当点C在x轴的正半轴时，BC=2，而OB=，所以C的坐标为（，0），将点A和点C的坐标代入y=ax+b中，求出a=，b=1；所以直线的解析式是y=x+1．
当点C在x轴的负半轴时，BC=2，而OB=，所以C的坐标为（-3，0），将点A和点C的坐标代入y=ax+b中，求出a=，b=3；所以直线的解析式是y=x+3．