初一数学竞赛系列讲座(16)逻辑原理.doc

初一数学竞赛系列讲座(16)
逻辑原理

一、 知识要点
逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义。

二、 例题精讲
例1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道：
(1) 小明不是金城的选手；
(2) 小强不是沙市的选手；
(3) 金城的选手不是一等奖；
(4) 沙市的选手得二等奖；
(5) 小强不是三等奖。
根据上述情况，小华是 的选手，他得的是 等奖。(第三届迎春杯决赛试题)
分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了。
解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖。
由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手，
由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖。

例2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三人。
A说：“是B做的。”
B说：“不是我做的。”
C说：“不是我做的。”
经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？
分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。
解：(1) 假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。
(2) 假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。
(3) 假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的。
评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确。这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。

例3 赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。
(1) 赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；
(2) 赵年龄比孙大；
(3) 赵在教李打太极拳；
(4) 教师每天步行上班；
(5) 售货员的邻居不是个体户；
(6) 个体户和工人互不认识；
(7) 个体户比售货员和工人年龄都大。
解：由(4)和(1)可知，赵、钱不是教师。由(2)和(7)知，孙不是个体户。因为假设孙是个体户，则由(2)和(7)知，赵不是售货员，不是工人；由(4)和(1)可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾。于是我们可得出下表：

售货员
工人
教师
个体户
赵

´

钱

´

孙

´
李

假设赵是工人，个体户是钱或李，由(6)可知，赵与钱或李应互不认识，这与(1)、(3)相矛盾，这样可知赵不是工人。
又假设赵是个体户，由(1)、(3)、(6)可知，孙是工人，钱是售货员，但又与(5)矛盾，所以赵是售货员。这样又可得出下表：

售货员
工人
教师
个体户
赵
√
´
´

钱
´

´

孙
´

´
李
´

根据(1)、(5)继续分析，把上面的表格填满，可得：钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户。如下表：

售货员
工人
教师
个体户
赵
√
´
´
´
钱
´
√
´
´
孙
´
´
√
´
李
´
´
´
√

最后得：赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户。
评注：分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然。在填表时通常把正确的结论打“√”，错误的打“´”。这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰。

例4今有棋子100颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取p颗，p为1或20以内的任一质数，不能不取。谁最后取完谁为胜者。问甲、乙两人谁有必胜的策略。
解：乙有必胜的策略。
由于p为1或20以内的任一质数，所以p或者是2，或者可以表示为4 k +1或 4 k +3(k为0或正整数)形式，乙可以采取如下的策略：
若甲取2颗，则乙也取2颗；
若甲取4 k +1颗，则乙取3颗；
若甲取4 k +3颗，则乙取1颗；
这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数。由于100是4的倍数，因此余下的棋子数必定还是4的倍数。从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数。因为p不是4的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子。
评注：本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略。而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜。由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可。

例5 有三堆小石子。每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作，取走的小石子数目可以不同)，或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上。开始时，第一堆有小石子1989块，第二堆有小石子989块，第三堆有小石子89块。能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩？ (2) 三堆小石子都一个不剩？(第十五届全俄数学奥林匹克试题)
分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了。
(2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。
解：(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。
(1989，989，89) ® (1900，900，0) ® (1900，450，450) ® (1450，0，0)
(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除。
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光。
评注：本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析，抓住关键。

例6 人的血型通常为A型、B型、O型、AB型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：
父母的血型 子女可能的血型
O、O O
O、A A、O
O、B B、O
O、AB A、B
A、A A、O
A、B A、B、AB、O
A、AB A、B、AB
B、B B、O
B、AB A、B、AB
AB、AB A、B、AB
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B。每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？(第五届华杯赛复赛试题)
分析：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这4行。又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，所以第八行也可划去。这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论。
解：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合条件。
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O，所以符合条件的只有O、O，A、A，AB、AB。因而，可以得出下面的简表：
父母的血型 子女可能的血型
O、O O
A、A A、O
AB、AB A、B、AB
从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子。
划去简表的第一行及子女血型中的O，又三个孩子中没有AB血型，所以子女血型中的AB也可划去，这样只剩第二行。
由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子。
最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子。
评注：1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法。枚举法在逻辑推理中常用。
2、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。

例7 在某市举行的一次乒乓球比赛中,有6名选手参赛,其中专业选手与业余选手各3名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法计分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分,负者扣分：每胜专业选手一场的加2分, 每胜业余选手一场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分。现问：一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？（第六届华杯赛复赛试题）
分析：6名选手进行单循环比赛，每名选手共进行5场比赛，显然1名业余选手只胜1场不能进入前三名，5场全胜肯定能进入前三名，因而我们只需讨论1名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况，看是否能保证他必定进入前三名。
解：设业余选手为A、B、C，专业选手为D、E、F。
(一)、如果A只胜两场，有三种情况：
（1）A胜两名专业选手，不妨为D、E。
在B、C、F都胜D、E，而且F胜B、C时，B、C、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名。
（2）A胜一名专业选手，一名业余选手，不妨为D、B
在E、F、C都胜D、B，而且E、F都胜C时，E、F、C的分数都比A高，因此A不能进入前三名。
（3）A胜两名业余选手B、C
在D、E、F都胜B、C，而且D胜E，E胜F，F胜D时，D、E、F的分数都比A高，因此A不能进入前三名。
所以如果A只胜两场，那么他不一定能进入前三名。
(二)、如果A恰好胜三场，情况比刚才要复杂。
（1）A胜D、E、F。这时A比底分10分增加2´3-2＝4分，其中又分两种情况：
①如果有一名专业选手，比如D，胜其他四人，则D比底分10增加2´2+2´1-2＝4分，刚好与A的得分相同。从而E、F的得分均低于A，B、C两人即使都胜E、F，他俩比底分10增加2´2+1-1+1＝5分与2´2+1-1-1=3分，从而A必定进入前三名。
②如果每一名专业选手均未全胜其他四人，那么他们的得分都低于A，A必定进入前三名。
(2) A胜两名专业选手，如D、E，及一名业余选手，如B。这时A比底分10分增加2´2+1-1-1=3分，其中又分多种情况。
如果F恰好胜B、C中的一个，那么在F胜D、E时，F的得分比底分增加4分，名次在A 之上。假设同时B、C也都胜D、E，并且B胜F，C胜B，那么B的得分比底分增加4分，C的得分比底分增加5分，因此C、B、F的排名均在A前，即A胜3场并不能保证他进入前三名。
因为前面已得到A胜3场并不能保证他进入前三名，所以A胜3场的其他情况就不需要再讨论。
(三)、如果A胜4场，分两种情况讨论。
(1) A仅负于一名专业选手，比如D，这时A比底分增加5分，而专业选手E、F由于被A 击败，每人至多比底分增加4分，名次均在A 后面。同时B、C中至少有一人(B、C之间的失败者)，负的场数多于A，从而名次在A 后面。所以A必定进入前三名。
(2) A仅负于一名业余选手，比如B，按(1)中所说的理由，D、E、F的名次均在A 后面，所以A必定进入前三名。
所以，如果A胜4场，A必定进入前三名。
综上所述，一名业余选手至少要胜4场才能保证他必定进入前三名。
评注：本题也采用了枚举法，可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法。枚举一定要耐心、仔细。

例8 袋内有100只球，其中红球28只、绿球20只、黄球12只、蓝球20只、白球10只、黑球10只。任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有15只同色的球，那么，从袋内摸出的球的只数至少应是多少？
分析：如果运气好的话，一下子从袋中摸出的15只球中都是红球，或都是绿球，或都是蓝球，问题就解决了。但是，运气不是一直这样好的，所以要一定有15只同色的球，必须从“最坏”处考虑。
解：从运气“最坏”处考虑。若一开始12只黄球、10只白球、10只黑球全摸上了，此时已摸出32只球，但15只同色的球也没摸到。
接下来，又摸出14只红球、14只绿球、14只蓝球，但还是没摸到15只同色的球，此时已摸出32+14´3=74只球。
接下来再摸出任意一只，就可摸到15只同色的球，这样从袋内摸出的球的只数至少应是74+1=75只。
评注：本题应用了数学中的极端原理，也就是从问题 “最坏”的情况来分析。

例9 在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两数的和与1的差，将这个过程重复若干次后得到17，1983，1999.问一开始黑板上写出的是哪三个数？
分析：按照操作规则，三个整数中擦去一个，换上其他两数的和与1的差，若擦去的是三个整数中的较大者，那么这三个整数越来越小，若擦去的是三个整数中的较小者，那么这三个整数越来越大。现在经过若干次操作后，结果是17，1983，1999，显然我们要寻找最初最小的三个整数，因而，要擦去的是三个整数中的较大者。
因为题目告诉我们的是最后的结果，所以我们要往前推，寻找擦数的规律。
解：按照题意，要擦去的是三个整数中的较大者。
因为现在的结果是17，1983，1999，由于1999=1983+17-1，所以前三数中最大的是1983，即为(17，x，1983)。根据规则，有1983=x+17-1，∴x=1967
所以又知再前面的三数中最大的是1967，即 (17，y，1967)，
又根据规则，有1967=y+17-1 ∴y=1951。
这样，最大的数渐渐变小，直到出现比17还小。接下来，寻找擦数的规律。
设某次操作中的一组数为(a，b，c)，且0<a<b<c，则c=a+b-1，
擦去c，则有(a，d，b)，此时b=a+d-1
这样，经过一次变换后，得c=a+b-1= a-1+ a+d-1=d+2 (a-1)
经过二次变换后，可得c=e +3 (a-1)，经过k+1次变换后，可得c=p+k (a-1)，
这说明变换的次数与最大数c及最小数a有关。
∵1999=31+123´16=31+123´(17-1)，1983=15+123´16=15+123´(17-1)，
说明经过124次变换后1999®31，1983®15。从而可知(17，1983，1999)是由
(17，15，31) 经过124次变换后得来的。
现在只要考虑(17，15，31)是怎么样变换得来的。
(17，15，31)¬(3，15，17) ¬(3，13，15)¬(3,11,13)¬( 3,9,11)¬(3,7,9) ¬( 3,5,7) ¬(3,3,5)¬(3,3,3),则一开始黑板上写的三个数是3,3,3
评注：本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题，这是一种逆向思维的方法，关键是找出逆向的规律。

三、 巩固练习
选择题
1、 某学生在暑假期间观察了x天的天气情况，其结果是：
(1)共有7天上午是晴天；(2) 共有5天下午是晴天；(3) 下午下雨的那天，上午是晴天；(2) 共下了8次雨，在上午或下午，则x等于( )
A、9 B、8 C、10 D、12
2、 某中学初一年级有13个课外兴趣小组，各组人数如下：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
人数
2
3
6
7
9
10
11
14
13
17
21
22
24

一天下午，学校同时举办语文、数学两个讲座。已知12个小组去听讲座，其中，听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是( )
A、第4组 B、第7组 C、第9组 D、第12组
3、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么，甲写数字( )时有必胜策略。
A、10 B、9 C、8 D、6
4、有A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了( )盘
A、1 B、2 C、3 D、4
5、甲、乙、丙三个人每次从写有整数m、n、k(0<m<n<k)三张卡片中摸出一张，并按卡片上的数字取相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行。当它们做了N(N≥2)次游戏后，甲有20粒石子，乙有10粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次乙摸的是k，那么第一次游戏时，摸到n的( )
A、必是甲 B、必是乙 C、必是丙 D、或甲或乙
6、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛，观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄：(1)“乙比甲的年龄大”；(2)“甲比他的伙伴的年龄大”；(3)“丙比他的两个对手的年龄都大”；(4)“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些”。
根据这些议论，甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是( )
A、甲、丙、乙、丁 B、丙、乙、甲、丁
C、乙、甲、丁、丙 D、乙、丙、甲、丁
填空题
7、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
(1) 甲上课全用汉语；(2) 外语老师是一个学生的哥哥；(3) 丙是一个女的，比数学老师年轻。则甲上 课，乙上 课，丙上 课。
8、某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，那么最大的男孩是
岁。
9、甲、乙两人在说李伟和江海的职业。甲说：“李伟是演员，江海是教师。”乙说：“两人之中一个是演员，另一个是教师。”已知甲、乙两人中一个说真话，另一个说假话，则李伟是 ，江海是 。
10、7个男生和7个女生一起跳舞，规定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞结束后，各人记得自己跳舞的次数分别为：3，3，3，3，3，5，6，6，6，6，6，6，9，9，则其中有人记错吗？
11、某参观团根据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：(1)若去A地，也必须去B地；(2) D、E两地至少去一地；(3) B、C两地只去一地；(4) C、D两地都去或都不去；(5)若去E地，A、D两地也必须去。则该参观团最多能去的地方是

12、将1、2、3、4、5、6、7、8八个数分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下三数之和是A组五个数之和的。则A组是
B组是
解答题
13、在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球一个红球。现在三个盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三个盒子里各装的是什么吗？
14、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。现已知：(1) 甲不在南京工作；(2) 乙不在苏州工作；(3) 在苏州工作的是工人；(4) 在南京工作的不是教师；(5) 乙不是农民。问三人各在什么地方工作？各是什么职业？
15、在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。

今天甲说：“昨天是我说谎的日子。”乙说：“昨天也是我说谎的日子。”问今天是星期几？
16、今有5´5的方格表，能否在每一格中填入-1、0、1这三个数字中的一个，使得各行数字之和，各列数字之和及主对角线上数字之和，副对角线上数字之和均不相等。
17、有A、B、C3支足球队，每两队都比赛一场。比赛结果是：A两战两胜，共失球2个；B共进球4个，失球5个；C有一场踢平，共进球2个，失球8个。请写出每场比赛的比分。
18、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p<q<r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙总共得到10块糖，丙总共得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字之和是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？
19、两人做游戏，轮流在9´9的表中画十字和圈。先开始的人画十字，其对手画圈。所有方格都画满之后，按如下方式计分：数出这样的行和列的数目，其中十字多于圈，并将该数作为第一个人的得分，再数出其中圈多于十字的行和列的数目，作为第二个人的得分，以得分多的人为胜，试问,第一个人怎样才能取胜？
20、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A到K。这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：
A说：“有10个人。”
B说：“有7个人。”
C说：“有11个人。”
D说：“有3个人。”
E说：“有6个人。”
F说：“有10个人。”
G说：“有5个人。”
H说：“有6个人。”
I说：“有4个人。”
那么，这个俱乐部的11位成员中，总说谎话的有几个人？