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单元评估检测(四)
第四章
(120分钟　160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)
1.若z(1+i)2=2i，则|z|=　　　　　.
【解析】因为z(1+i)2=z·2i=2i，
设z=a+bi(a，b∈R)，则(a+bi)2i=2i，
即-2b+2ai=2i，所以a=1，b=0，故z=1.
故|z|=1.
答案：1
2.(2015·重庆模拟)已知向量|a|=2，|b|=，且a·b=3，则a与b的夹角为　　　　.
【解析】设a与b的夹角为θ，
则cosθ===.
又因为0≤θ≤π，所以θ=.
答案：
3.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2.设点P，Q满足=λ，=(1-λ)，λ∈R.若·=-2，则λ=　　　　.
【解析】如图，以A点为原点，以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建系.

则B(1，0)，C(0，2)，A(0，0)，
由=λ得P(λ，0).
由=(1-λ)得Q(0，2-2λ)，
故=(-1，2-2λ)，=(λ，-2).
故·=-λ-2(2-2λ)=3λ-4=-2.
解得λ=.
答案：
4.(2015·贵阳模拟)已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=，|a|=3，|b|=5，则a与b的夹角为　　　　.
【解析】S△ABC=||||sinA
=|a||b|sinA=×3×5sinA=，
所以sinA=.
又a·b<0，所以A为钝角，所以A=150°.
答案：150°
5.定义运算=ad-bc，则符合条件 =0的复数z对应的点在第　　象限.
【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.
【解析】由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0，所以z(1-i)=5，设z=x+yi(x，y∈R)，
所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5，
(x+y)+(y-x)i=5，解得
因为x=y=>0，所以复数z对应的点在第一象限.
答案：一
6.(2015·南宁模拟)如图所示，非零向量=a，=b，且BC⊥OA，C为垂足，若=λa(λ≠0)，则λ用a，b表示为　　　　　.

【解析】⊥，即⊥，
所以(-)·=0，
所以||2-·=0，
即λ2|a|2-λa·b=0，又λ≠0，解得λ=
答案：λ=

7.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个结论：

①+=2；
②=2+2；
③·=·；
④(·)=(·).
其中正确结论的个数为　　　　.
【解析】+=+==2，故①对；
取AD的中点O，则=2=2+2，故②对；
设||=1，则·=×2×cos=3，
而·=2×1×cos=1，故③错；
设||=1，则||=2，
(·)=(2×1×cos)=.
(·)=(1×1×cosπ)=-=，故④正确.
综上，正确结论为①②④.
答案：3
【加固训练】给出下列命题：
p：函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π；
q：存在x∈R，使得log2(x+1)<0；
r：已知向量a=(λ，1)，b=(-1，λ2)，c=(-1，1)，则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是　　　　.
【解析】f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x，故最小正周期为π，故命题p正确；当0<x+1<1，即-1<x<0时，log2(x+1)<0，故命题q正确；a+b=(λ-1，λ2+1)，故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1)，解得λ=-1或λ=0，故命题r不正确.
答案：p，q
8.(2014·昆明模拟)已知平面向量a=(sin2x，cos2x)，b=(sin2x，-cos2x)，R是实数集，f(x)=a·b+4cos2x+2sinxcosx.如果存在m∈R，任意x∈R，f(x)≥f(m)，那么f(m)=　　　　.
【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.
【解析】由已知可得
f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+2sinxcosx
=sin2x-cos2x+4cos2x+2sinxcosx
=-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x
=sin2x+cos2x+2=2sin+2.
故f(x)min=0，因此f(m)=0.
答案：0
9.设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义向量a⊗b=(a1b1，a2b2)，已知m=，n=，且点P(x，y)在函数y=sinx的图象上运动，Q在函数y=f(x)的图象上运动，且点P和点Q满足：=m⊗+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为　　　　.
【解题提示】可先设P(x，sinx)，由已知定义可得=+
=，从而可求f(x)=sin，根据三角函数的性质可得函数的最大值及最小正周期.
【解析】设P(x，sinx)，
所以=+
=，
因为点Q在函数y=f(x)的图象上运动，
所以f=sinx，
所以f(x)=sin.
即函数的最大值为，最小正周期为4π.
答案：，4π
10.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)=acosθ-bsinθ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2=，则向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为　　　　.
【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角，进而确定e2与-e1的夹角，根据新定义求向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的数量积，由此确定其夹角.
【解析】设e1，e2的夹角为α，则e2与-e1的夹角为π-α，
由题意，得|e1|=|e2|=1，
所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=，
故α=，π-α=π，
所以f(e1，e2)=e1cos-e2sin=e1-e2，
f(e2，-e1)=e2cosπ-
=e1-e2，
f(e1，e2)·f(e2，-e1)

=-e1·e2+
=-=0.
所以f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为.
答案：
【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧
(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.
11.(2015·镇江模拟)设a∈R，且(a+i)2i为正实数，则a的值为　　　　.
【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i，
由(a+i)2i为正实数得解得a=-1.
答案：-1
12.(2015·厦门模拟)已知向量a=(x-1，2)，b=(4，y)，若a⊥b，则9x+3y的最小值为　　　　.
【解析】若a⊥b，则a·b=0，所以2x+y=2，
由基本不等式得9x+3y≥6，当且仅当9x=3y，即x=，y=1时等号成立.
答案：6
13.已知平面向量α，β，且|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|=
　　　　.
【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0，
所以α·β=，所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10，所以|2α+β|=.
答案：
【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧
(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.
14.在△ABC中设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m=(cosC，2a-c)，n=(b，-cosB)，且m·n=0，则B=　　　　.
【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0，
即b·=(2a-c)·，
整理得ac=a2+c2-b2，
又cosB===.
又因为0<B<π，所以B=.
答案：

二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2015·兰州模拟)已知=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，
(1)若∥，求x与y之间的关系式.
(2)在(1)的前提下，若⊥，求向量的模的大小.
【解析】(1)=++=(x+4，y-2).
因为∥，所以x(2-y)-y(-x-4)=0，
所以x+2y=0.
(2)=(x+6，y+1)，=(x-2，y-3).
因为⊥，所以·=0，
所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
又因为x+2y=0，
所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.
即y2-2y-3=0，
解得y=3或y=-1.
即=(-6，3)或=(2，-1)，
所以||=3或||=.
16.(14分)(2015·南昌模拟)已知复平面内平行四边形ABCD(A，B，C，D按逆时针排列)，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i.
(1)求点C，D对应的复数.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标，运用向量、复数间的对应关系解题.
【解析】(1)设点O为原点，因为向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i，又=+，
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i，
又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i，
=-=2+i-(1+2i)=1-i，
所以=+=1-i+(4+i)=5，
所以点D对应的复数为5.
(2)由(1)知=(1，2)，=(3，-1)，
因为·=||||cosB，
所以cosB===，
所以sinB=，
又||=，||=，
所以面积S=||||sinB=××=7.
所以平行四边形ABCD的面积为7.
17.(14分)设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b=(a1b1，a2b2)，已知向量m=，n=，点P(x，y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.
【解题提示】设出Q点坐标，与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.
【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则由已知可得
(x，y)=⊗(x1，y1)+
=+=.
故即
又因为P点在y=sinx上，故2y=sin，
故f(x)=sin，
因为x∈R，故-≤f(x)≤.
18.(16分)(2014·大连模拟)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m=(sinA-sinB，sinC)，向量n=(sinA-sinC，sinA+sinB)，且m∥n.
(1)求角B.
(2)若sinA=，求cosC的值.
【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B
=sinC(sinA-sinC)
=sinAsinC-sin2C，
由正弦定理得，a2-b2=ac-c2，
所以a2+c2-b2=ac.
由余弦定理知，cosB==，所以B=.
(2)因为sinA=，所以sinA<，所以A<B.
又B=，所以A<，所以cosA=，
所以cosC=cos
=coscosA+sinsinA=-.
19.(16分)(2015·盐城模拟)设向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，函数f(x)=a·(a+2b).
(1)求函数f(x)的单调增区间.
(2)求使不等式f′(x)≥2成立的x的取值范围.
【解析】(1)f(x)=a·(a+2b)=
sin2x+cos2x+2(sin2x+sinxcosx)
=2+2
=2+2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)=2+2sin，
得f′(x)=4cos，
由f′(x)≥2，得cos≥，则2kπ-≤2x-≤2kπ+，
即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.
故不等式f′(x)≥2的解集为xkπ-≤x≤kπ+，k∈Z.
20.(16分)已知向量a=(sin(ωx+φ)，2)，b=(1，cos(ωx+φ))
，函数f(x)=(a+b)·(a-b)，y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当-1≤x≤1时，求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a2-b2
=|a|2-|b|2=sin2(ωx+φ)+3-cos2(ωx+φ)
=-cos(2ωx+2φ)+3，
由题意得周期T==4，
故ω=，又图象过点M，
所以=3-cos，
即sin2φ=，而0<φ<，故2φ=，
则f(x)=3-cos.
(2)当-1≤x≤1时，-≤x+≤.
所以当-≤x+≤0时，
即x∈时，f(x)是减函数.
当0≤x+≤时，
即x∈时，f(x)是增函数.
则函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
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