高三理科数学016.doc

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期数 0509 SXG3 016
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

复 习 篇
[同步教学信息]

复习篇二 极 限
【复习范围】
1．数学归纳法
2．数列的极限
3．函数的极限
4．极限的四则运算
5．函数的连续性
【基础知识梳理】
1．数学归纳法
数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法. 用数学归纳法证明命题的步骤是：
（1）证明当n取第一个值时结论正确；
（2）假设当时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都正确.
2．数列的极限
如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数a，那么就说数列以a为极限，或者说a是数列的极限, 记作：.
数列的极限反映了当项数无限增大时数列的项的变化趋势.
3．函数的极限
本章从两个角度研究函数的极限：（1）当时，函数的极限；（2）当自变量x无限趋近于常数时，函数f(x)的极限.
（1）当f(x)=a且时，我们说当时，f(x)的极限存在，且极限为a，记作.
（2）当且时，我们说f(x)在处有极限，且极限为a，记作 ，需要说明的是，函数f(x)在处有极限，与f(x)在处是否有定义无关.
4．极限的四则运算
（1）函数极限的四则运算法则
若，则

注意：这些法则对于的情况仍然成立.
（2）数列极限的四则运算法则
若则

5．函数的连续性
函数f(x)在处连续必须满足三个条件：
（1）在处有定义，即存在；
（2）存在，这里隐含着f(x)在点附近有定义；
（3）f(x)在点处的极限值等于这一点的函数值，即.
如果上述条件中有一个不成立，函数f(x)在点处就不连续. 另外，连续函数具有以下性质：如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值.
【典型问题举例】
例1已知函数设数列}满足，数列}满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明；
（Ⅱ）证明
证明：（Ⅰ）当 因为a1=1，所以
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么
所以，当时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以

故对任意

例2求下列数列的极限
．
解：（1）；
（2）；
（3）
点评：数列的极限主要有以下几种类型
（1）为关于n的多项式）型．
解法：分子和分母都除以所有项的关于ｎ的最高次幂，再利用极限的运算法则求解．但要熟记．
（2）是不全为1的常数）型
解法：先用分子和分母各项中，底的绝对值最大的项去除分子、分母，再利用极限的运算法则求解．但要熟记．
（3）欲求极限的式子中，含有其项数与n有关的“和式”或“积式”，解法：先求和、积，表达为关于n的多项式，从而归结为“①型”或“②型”．
（4）应用无穷递缩等比数列的和的概念、公式求极限以及解决有关实际问题。
需要注意：无穷递缩等比数列的“和”，是无穷多项的和。数列前n项的和是有限项的和。这是两个根本不同的概念。任何数列都有前n项和，这是通常意义的有限和。但无穷数列不一定有一切项的“和”，这个和是当时的极限(如果存在)的形式称呼。
例3已知数列的前项和．
（1） 求数列的前项和；（２）求．
解：（１）当时，．
当时，也符合上式．∴．
于是，数列的通项为，它构成首项为，公比为的等比数列，故它的前ｎ项和为．
（２）．
【说明】 题(2)也可直接利用无穷递缩等比数列的求和公式求解．
例4求下列函数的极限
（１）；（２）；（３）
解：（1）原式＝．
（2）
（3）原式＝．
说明：函数极限主要有二类：一类是；另一类是．
求解步骤和方法：先看趋向，若，按数列极限求解方法求解．若，则将代入解析式，此时如分母为０，则必有公因式约去；否则求出函数值，即为点的极限值．
例5． 设函数，在点连续，求实数的值．
解：∵函数在点连续，∴
而．
∴．

【强化训练】
同步复习[※级]
一、选择题
1．下列无穷数列中，极限不存在的数列是（ ）
A．
B．3，3，…，3…
C．
D．
2．以下四个函数：①②；③；④，
其中在x=0处连续的函数是（ ）
A．③④ B．②③④ C．①②④ D．②④
3．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．=________.
5．=________.

同步提高[※※级]
一、选择题
1．函数的不连续点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
2．定义f(－1)，使函数在x=－1处连续，则（ ）
A．f(－1)=1 B．f(－1)=－1
C．f(－1)=2 D．f(－1)=－2
3．已知 则f(x)的不连续点是（ ）
A．x=0 B．x=－1 C．x=2 D．x=1
二、填空题
4．对于函数，给定下列四个命题：
① ② ③ ④
其中正确的命题是 （填序号）.
5．=________.
三、解答题
6．设，问为何值时，存在？
7．已知数列满足.
(i)求；
(ii)推测数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
参考答案
同步复习[※级]
一、选择题
1．C 2．B 3．D
二、填空题
4．1 5．1
同步提高[※※级]
一、选择题
1．B 2．C 3．D
二、填空题
4． ①和② 5．
三、解答题
6．解：∵，，
∴要使存在，只须=，
∴，因此，当时，存在.
7．解：(i)由可得；；
.
(ii)推测，下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=，右边=，结论成立.
（2）假设n=k时结论成立，即，
则当n=k+1时，

故当n=k+1时，结论成立.
由（1）和（2）可知，对任何正整数n，结论都成立.