中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第18讲直线与二次曲线.doc

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数学高考综合能力题选讲18

直线与二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

范例选讲

例1．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切．过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足．
（Ⅰ）求双曲线的渐近线的方程；
（Ⅱ）求双曲线的方程；
（Ⅲ）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴．如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程．

讲解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：．
所以，．
双曲线的渐近线的方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：．
把直线的方程代入双曲线方程，整理得．
则 （＊）
∵ ，共线且在线段上，
∴ ，
即：，整理得：
将（＊）代入上式可解得：．
所以，双曲线的方程为．
（Ⅲ）由题可设椭圆的方程为：．下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点分别为，的中点为，则
．
两式作差得：
由于，
所以，，
所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分．
又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，．所以，，椭圆S的方程为：．

点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．

例2．设抛物线过定点，且以直线为准线．
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围．
讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为，则其焦点为．由抛物线的定义可知：．
所以，．
所以，抛物线顶点的轨迹的方程为： ．
（Ⅱ）因为是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定．所以，要求的取值范围，还应该从直线与轨迹相交入手．
显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：

由于与轨迹交于不同的两点，所以，，即
．（＊）
又线段恰被直线平分，所以，．
所以，．
代入（＊）可解得：．
下面，只需找到与的关系，即可求出的取值范围．由于为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点．
在中，令，可解得：．
将点代入，可得：．
所以，．
从以上解题过程来看，求的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：
解法二．设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：
．
两式相减得：
又由于，代入上式得：．
B
B＇
Ｍ
Ｎ
Ｐ
又点在弦MN的垂直平分线上，所以，．
所以，．
由点在线段BB’上（B’、B为直线与椭圆的交点，如图），所以，．
也即：．
所以，

点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．
涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．
从构造不等式的角度来说，“将直线的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点在椭圆内”是等价的．

高考真题

1．（1991年全国高考）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若，且，求双曲线的方程．
2．（1994年全国高考）已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．
3．（1996年全国高考）已知ll,l2是过点P()的两条互相垂直的直线,且ll,l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2.
(I) 求l1的斜率k1的取值范围;
(II)若|A1B1||A2B2|,求ll,l2的方程.

[答案与提示：1.略； 2．；　　 3．(I)； (II) ．]

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