广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科).doc

惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． － C．2 D．－2
5．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）
A．19、13 B．13、19
C．20、18 D．18、20
7．已知满足约束条件的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．数列{} 中，，则数列{}前项和等于（ ）
A．76 B．78 C． 80 D．82
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
9．在等比数列中，，公比，若前项和，
则的值为 ．
10．阅读右图程序框图． 若输入，则输出的值为________．
11．已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点
重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 ．
12．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题
中正确的有 ．
①；②；
③；④．
13．已知函数．若在
上单调递增，则实数的取值范围为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数（其中，），且函数的图像关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若，求的值。

17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率。

18．（本小题满分14分）如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为？

19．（本小题满分14分）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为， 数列的首项为，且前项和满足:
－=+（）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少?

20．（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

21．（本小题满分14分）已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。

惠州市2013届高三第三次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
C
A
B
B
1．【解析】．故选D．
2．【解析】．故选B．
3．【解析】或．故选D．
4．【解析】由设，图象过点得，
．故选A．
5．【解析】，，即．故选C．
6．【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A．
7．【解析】最优解为．故选B．
8．【解析】，
取及，
结果相加可得．故选B．
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，
每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．7 10．3 11． 12．④ 13． 14． 15．3
9．【解析】．答案：．
10．【解析】．答案：3．
11．【解析】抛线线的焦点．
．答案：．
12．【解析】均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故①不正确；
m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确 ．答案④．
13．【解析】，是增函数，所以
．答案：．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．【解析】∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，
∴，∴，在△POD中由余弦定理，
得：
=．
解析2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵，
∴，
可得，，在中，
∴．答案：．
15．【解析】、的极坐标分别为，，则
（其中为极点）．答案3．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：∵，……………………………………2分
∴函数的最小正周期为．……………………………………3分
∵函数，……………………………………5分
又的图像的对称轴为（），………………………………6分
令，
将代入，得（）．
∵，∴．……………………………………7分
（2）解：，…9分
………12分
17．（本小题满分12分）
（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以．…………………………1分
解得．………………………………………………………………………2分
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．……3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．………………………………………5分
（3）解：成绩在分数段内的人数为人，……………… 6分
成绩在分数段内的人数为人， ……………………………………7分
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 ………………… 9分
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………………… 10分
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 ……11分
所以所求概率为．……………………………………………………………………13分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中，，
．……… 4分
（2）解：，，
，
，
．
∴，…………… 6分
．，，
．∴．
设点到平面的距离为，∴．
∴点到平面的距离为． ………………………………………………… 8分
（3）解：过作交于，连接．由三垂线定理可知，为二面角的平面角．
∴，，． ……………………… 10分
，∴．…………………… 12分
∴，．
故时，二面角的平面角为．…………………………… 14分
19．（本小题满分14分）
解：（1），
，，
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；……………………2分

又，， ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；又其满足，
()； ……………………………… 5分
（2），所以
①
②
①式减②式得：
…… 7分

化简：…… 9分

所以所求 ………………………………………… 10分
（3）
…… 12分

； …… 13分
由得，满足的最小正整数为112. ………… 14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题设知，，，………………………………1分
由，得，…………………………3分
解得．
所以椭圆的方程为．……………………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 ………………………………………………6分
…………………………………………7分
．………………………………………………………………8分
从而求的最大值转化为求的最大值．……………………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，………………………………………10分
所以，即．………………………………………………11分
因为点，所以．…………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．…………………13分
所以的最大值为11．…………………………………………………………14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 ………………………………………6分
所以…………………………………7分

．………………………………………9分
因为点在圆上，所以，即．………………10分
因为点在椭圆上，所以，即．…………………………11分
所以．……………………………………12分
因为，所以当时，．………………………14分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………6分
由，解得．……………………………………………7分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．……………………………………………8分
所以，
…………………………………9分
所以．
……………………………………10分
因为，所以当时，取得最大值11．……………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或．
不妨设，，． …………………………………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．……………13分
综上可知，的最大值为11．…………………………………………14分

21．（本小题满分14分）
解：（1）．……1分
因为为的极值点，所以．…………………………………2分
即，解得． …………………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立． ……………4分
（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．………5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．…………………………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以上恒成立． ……………………7分
令，其对称轴为， …………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可，
因为，解得． ……………………………………9分
因为，所以．
综上所述，的取值范围为． ……………………………10分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域． ………………………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ， ………………………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数， ………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0． ………………………………………14分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0． …………………………………………14分

·16·