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[初中数学论文]
新课标下竞赛题转化策略浅析

数学竞赛就是以各个知识点为基础，对已有的问题或变形，或删减条件，或本末倒置，或重新整合，或另辟新路，使数学问题显得既熟悉又陌生，好象有路又好象没路。直到你走完了才恍然大悟，不得不为出题者的构思所折服。它是源于生活高于生活，始于基础知识又高于基础知识，一句话就是要活学活用各种数学思想方法，为达目的誓不罢休。
数学思想方法是数学知识更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，迁移并作用于相关学科和社会生活，而转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，数学解题的过程就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化，从而获得解决的过程。
在数学考试竞赛中，我们会碰到各种类型的题目。
比如实际应用问题，可转化为数学模型（代数模型、几何模型）。
常见的数学模型及相关问题归类如下：
模型
相关内容
方程
工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存货、调配、面积等
函数
方案优化、风险估算、成本最低、利润最大、几何动态
不等式、统计、概率
最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、设资估算
解直角三角形
测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算
线性规划初步
产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估，利润分配生产方案设计
再比如目前十分流行的几何动态问题（动点，动直线，动图形），可以用动与静的辩证关系，最终把动态问题转化为特定条件下的静态计算问题。
在具体解题过程中，当然会用到一些具体的转化策略：
一、 复杂问题一般化，突显本原
G·波利亚在《怎样解题》中指出：“更普遍的问题可能更易于求解。”
例1 =（ ）
.
.
分析：此题由于省略号的出现，使计算繁琐，而且没有明确显示根号内是2减多少。但有一点可以肯定，这是一个循环运算。考查 X=0.9①
10X=9.9②
②—①9X=9
X=1
可以借助这个办法。
解：设X=①
则有X2=2—②
②+①得 X2+X=2
X=1或X= —2

X=1 即 原式=1
二、 退一步，海阔天空
有些问题，有些时候，局部情况相当复杂，如果盲目进入局部探索、往往会陷入云里雾中。此时，如果能退一步，从整体上把握方向，常会找到问题的简明解法。
例2 1024名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军。问：应进行多少场比赛？为什么？
解法1因每两人比赛一场，第一轮要比赛场，第二轮要比赛场，第3，4，5，6，7，8，9轮分别要比赛，，，，场，第10轮比赛场，最终决出冠军。
可见，共应比赛
+++++++++=512+256+128+64+32+16+8+4+2+1=1023（场）
解法2 从整体思想考虑，即从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现在1024名选手中要决出冠军，需淘汰1023名选手，因此需要进行1023场比赛。
上面两种解法比较，显然，解法2简洁明快，美不胜收。从中可以品到应用整体思想解题的特点。
三、 数形结合，互相转化
“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象。形中有数，数中有形，两者结合，威力无比。正如华罗庚教授指出的那样：“数无形，少直观；形无数，难入微”，我们应仔细挖掘题目中数与形的结合点，通过数形结合，化难为易。
例3．|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是_______.（第十三届江苏省初中数学竞赛试题）
分析：设数轴上的点A、B、C对应的数依次为-1，2，3。那么问题的实质就是在数轴上找一点表示数x的点x，使点x到点A、B、C之间的距离之和为最小。显然，当点x 与点B重合时，距离之和最小，它等于A、C两点距离，若点x不与点B重合，例如在A、B间某一位置，（如图）则距离之和等于xA+xB+xC=AC+ xB> AC,
于是，本题答案为当x=2时取得最小值为4。
四、 一般问题，特殊化
由于特殊问题比较简单，而特殊问题的解决常常孕育着一般问题的解决，华罗庚教授讲：“这是一般的研究方法，先足够地退到我们容易看清问题的地方去，看透了，钻深了，然后再上去。”
例4、设（2x-1）5=ax5+ ax4+ax3+ ax2+ ax+a
（1） a+ a+ a+a+ a+ a
（2）a- a+ a-a+ a- a
（3）a+ a+ a的值。
解（1）令x=1即得 a+ a+ a+a+ a+ a=1。
（2） 令x=-1即得 a- a+ a-a+ a- a=-243
（3）由上述解得： a+ a+ a=（1—243）=-121
五、 反戈一击，立竿见影
反证法是间接证法中的一种，在解某个数学问题时，若感到条件“不足”或无从下手，不妨考虑使用反证法。反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件，从原结论的相反结论出发，再利用原有的一些已知条件，导出矛盾，从而达到否定假设，肯定原命题的目的。
例5要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每校至少要分到一个名额。求证：
（1） 不管怎样分配，至少有3个学校得到的名额相同。
（2） 如果分到相同名额的学校小于4，则29名选手至少有5名来自同一学校。
解：（1）若没有3个学校得到相同的名额，由于每校至少一名，则最节约的方案是：2个学校各得1名；2个学校各得2名；2个学校各得3名；2个学校各得4名；2个学校各得5名。这样，最少要2（1+2+3+4+5）=30个名额，但只有29个名额，不够分配。
（2）若每个学校分得的名额都不超过4，则在分到相同名额的学校小于4的条件下，10校派出的选手不超1×1+3×2+3×3+3×4=28。
数学解题的成功需要大量的经验知识积累：
（1） 多跑阅览室，在课余可以坐一会，既可以放松也是可学习到许多其它老师的经验；
（2） 多跑书店，许多新的好书是我们需要收藏的，也可以推荐给学生；
（3） 多和同事交流，三个臭皮匠顶个诸葛亮，思维的撞击才能产生更多的火花；
（4） 多做精选的试题，多做变式训练，真正把学来的知识转化为自身的东西。
数学题就像是一间里面藏有珍宝而又被锁起来的屋子，而我们这些心灵手巧的工匠就站在屋子的前面……
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