高考第一轮复习数学：9.2直线与平面平行.doc

9.2 直线与平面平行

●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ
答案：D
2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.
答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

答案：C
4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.
解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.
答案：①16 ②272
（理）设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.
解析：解法类同于上题.
答案：
5.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，
因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC、平面ABD
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.
又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ平面BCE.
而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.

∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，
∴MG∥平面BCE.
又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
【例2】 如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN.
∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.
∴EM∥BB1，FN∥BB1.∴EM∥FN.
又B1E=C1F，∴EM=FN.故四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD.
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则=.
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=.∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD.
评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.
【例3】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.
∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO==.
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=.
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.
在Rt△POE中，PO=，PE=，∴sin∠PEO==.
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.
思考讨论
证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.
●闯关训练
夯实基础
1.两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是
A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.aα
答案：C
2.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是
A.过A有且只有一个平面平行于a、b B.过A至少有一个平面平行于a、b
C.过A有无数个平面平行于a、b D.过A且平行a、b的平面可能不存在
解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A.
∴a′、b′可确定一个平面，记为α.
如果aα，bα，则a∥α，b∥α.
由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.
答案：D
3.（2004年全国Ⅰ，16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.
在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）
解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；
AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；
DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.

答案：①②④
4.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.
解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.

设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，
BC2=（）2=4x2.
又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2.
答案：2
5.如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD.∴CD∥EG.
又AB∥CD，∴EG∥AB.
若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.
∵CE==a，△PBC为直角三角形，∴BC2=CE·CPCP=a，====.
故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD.
6.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.

分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.
证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得===
=NR=MB.∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，∵==，∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.
证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
培养能力
7.已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，（1）求证：D1B1∥l；（2）若AB=a，求l与D1间的距离.

（1）证明：

∵D1B1∥BD，∴D1B1∥平面ABCD.
又平面ABCD∩平面AD1B1=l，
∴D1B1∥l.
（2）解：∵D1D⊥平面ABCD，
在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连结D1G，则D1G⊥l，D1G的长即等于点D1与l间的距离.
∵l∥D1B1∥BD，∴∠DAG=45°.
∴DG=a，D1G===a.
探究创新
8.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；
（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；
（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.
（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.
∵E为A1B的中点，∴EFB1B.

又C1MB1B，∴EFMC1.∴四边形EMC1F为平行四边形.
∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，
FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1.
（2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.
∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.
∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，
∴EM∥A1N.
又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.
又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.
设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.
在Rt△A1D1N中，A1N== a，∴sin∠A1ND1==.
在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·= a.
在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.
（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.
又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）
∵S=·2a·a=a2，S=·a·a= a2，
棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，
V1=·2a·（a2++a2）= a3，∴V2=2a·2a·a－a3= a3.
∴=.
●思悟小结
1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.
2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.
●教师下载中心
教学点睛
1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.
2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.
拓展题例
【例1】 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.

证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ.
∵b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，∴b∥OQ.又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点. ∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ.∴P为MN的中点.
评述：本题重点考查直线与平面平行的性质.
【例2】 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.

（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A1C1⊥AB；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.
∴EF∥平面ABC.
（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1.
∴A1C1⊥AB.
（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.
过A1作A1G⊥AC1于点G，
∵AB⊥平面ACC1A1，
∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= .
评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.