高中数学复习专题讲座(第38讲)数形结合思想.doc

题目 高中数学复习专题讲座数形结合思想
高考要求
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征
重难点归纳
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化
（1）集合的运算及韦恩图
（2）函数及其图象
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线
以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法
以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合
典型题例示范讲解
例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围
命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目
知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化
错解分析 考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a＜–2这一种特殊情形
技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决
解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数
∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}
作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下
①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}
要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾
②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知
必须且只需
解得≤a≤2
③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，
要使CB必须且只需
解得2＜a≤3
④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立
综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］
例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证
命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力
知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上
错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二
技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图
从而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴
例3曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围
解析 方程y=1+的曲线为半圆，
y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线

答案 （］
例4设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围
解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立
x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立
考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方
如图两种情况
不等式的成立条件是
(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)
(2)a∈(–3,–2，
综上所述a∈(–3,1)
解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)
令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象
如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，
故直线l对应的a∈(–3,1)
学生巩固练习
1 方程sin(x–)=x的实数解的个数是( )
A 2 B 3 C 4 D 以上均不对
2 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )
A α＜a＜b＜β B α＜a＜β＜b
C a＜α＜b＜β D a＜α＜β＜b
3(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是
4 已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是
5 设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β
（1）求a的取值范围；
（2）求tan(α+β)的值
6 设A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值
7 已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值
8 把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参考答案
1 解析 在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2=x的图象如图

答案 B
2 解析 a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示

答案 A
3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)
点A的几何图形是椭圆，点B表示直线
考虑用点到直线的距离公式求解
答案
4 解析 解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得
答案 a＞3
5 解 ①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的图象，知
当｜–｜＜1且–≠时，曲线与直线有两个交点，
故a∈(–2,–)∪(–,2)
②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a
相减得tan，
故tan(α+β)=3
6 解 ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆 如图所示

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点
显然当半圆O和圆O′外切时，a最小
a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2
当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大
此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2
7 解 由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,
∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜
如图

由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知
–≤｜PA｜–｜PF2｜≤
当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号
即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–
于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–
8 解 本题实际上是求正方形窗口边长最小值
由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小
如图

设AE=x,BE=y,
则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y
∴
∴

课前后备注 　
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