中考函数应用精讲精练.doc

函数应用
一、一次函数的实际应用
以现实生活问题为背景的函数应用性问题，成为近年来中考试题的一个亮点，这类问题取材新，立意巧，有利于考生应用能力的考查。要求学生要理解每个数据的含义，这是能顺利解决此类问题的关键。考查用待定系数法确定一次函数的解析式及一次函数关系的实际应用问题。

例1．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本y（元）
28500
36000
41000
53500
……
（1） 经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
分析：
这是一道以生活的焦点问题为背景设计的应用问题，它先根据题意和图表确定相关数据，也就是坐标，再由相关数据（坐标）确定相应的函数关系，考查学生运用函数思想和方法解决实际问题的能力。
解：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则　　　　解得k＝，b＝16000。
∴所求的函数关系式为y＝x＋16000。
（2）∵48000＝x＋16000。
∴x＝12800。
答：能印该读物12800册。

练习一
1、恩施山青水秀，气候宜人。在世界自然保护区星斗山，有一种雪白的树蟋蟀，人们发现他15秒钟所叫次数与当地温度之间满足一次函数关系。下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀15秒
所叫次数x
…
10
19
28
…
温度y（℃）
…
10
15
20
…
（1）根据表中数据,用含x的代数式表示y；
（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀15秒钟叫了50次，那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度？

2.某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。
（1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；
（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

3.温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(°F)，则y是x的一次函数.
　　(1)仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式；
　　(2)当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?

4.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式。
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。

5.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时，；
5
O
15
10
20
25

y（米）
X（千米/时）
（1）写出销售单价的取值范围；
（2）求出一次函数的解析式；
（3）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

二、二次函数的实际应用
例2．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时）
0
5
10
15
20
25
…
刹车距离y（米）
0

2

6

…
（1） 请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。
分析：
利用收集的数据，通过描点可以看出y 与x的关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次函数的解析式，再利用解析式解决实际问题。本题涉及的题目并不难，关键是读懂题目，理解每个点所表示的含义。
解：（1）如图，画图正确。
设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c。
∵图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），
∴c＝0。
∴
解得
∴函数的解析式为
（2）∵y＝12，∴＝12，解得x1＝30，
x2＝－40（不符合题意，舍去）
又∵y乙＝10.5，∴，x＝42。
因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，
所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞。
归纳：
1．本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点的二次函数解析式及利用函数值求自变量取值的应用问题。
2．对于这类开放性综合性问题，要求学生撇开现象看本质，将其转化、抽象成为数学问题，也就是建构数学模型的过程。
练习一
1．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

2．某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产件，每件利润元，每提高一个档次，利润每件增加元．
（1）每件利润为元时，此产品质量在第几档次？
（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少件．若生产第档的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且≤≤）,求出关于的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为元，该工厂生产的是第几档次的产品？

3．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。
（1） 求y与x之间的关系式。
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。

4．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）。
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

5．某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？

三、反比例函数的应用
例3．某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年 度

2001

2002

2003

2004

投入技改资金z(万元)

2.5

3

4

4.5

产品成本，(万元／件)
7.2

6

4.5

4

(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元)?
分析：
该题设计十分新颖，给出图表后，让学生自己去分析数据之间的关系后，自己确定该函数关系式，此题难度不是很大，关键是学生能否分清楚每个量所表示的意义。
解：(1)设其为一次函数，解析式为
当时，； 当=3时，6．
　　　　　解得，
∴一次函数解析式为
把时，代人此函数解析式，
左边≠右边．　　∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为。当时，，可得
解得　∴反比例函数是。
验证：当=3时，，符合反比例函数。
同理可验证4时，，时，成立。
可用反比例函数表示其变化规律。
(2)解：①当5万元时，，。
（万元），
∴生产成本每件比2004年降低0．4万元。
②当时，。
∴
∴（万元）
∴还约需投入0.63万元。
归纳：
考查了学生运用待定系数法求一次函数及二次函数、反比例函数的解析式，是一道综合运用基础知识的典型试题。

练习三
1.某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x；年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=―10；
(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；
(2)在(1)的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议。(字数不超过50)

2.东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：
卖出价格x（元/件）
50
51
52
53
图8
p（件）
500
490
480
470

50 51 52 53 x（元/件）
……
销售量p（件）
500
490
480
470
……
（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的
数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结
各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售
利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式
（销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？

3.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：
（元）
15
20
25
30
…
（件）
25
20
15
10
…
⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立与的恰当函数模型。
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

4.某水果店有200个菠萝，原计划以2.6元/千克的价格出售，现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售。以下是随机抽取的5个菠萝去皮前后相应的质量统计表：（单位：千克）
去皮前各菠萝的质量
1．0
1．1
1．4
1．2
1．3
去皮后各菠萝的质量
0．6
0．7
0．9
0．8
0．9
（1） 计算所抽取的5个菠萝
去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量。
（2） 根据（1）的结果，要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？

5.在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。
⑴试建立销售价与周次之间的函数关系式；
⑵若这种时装每件进价Z与周次次之间的关系为Z＝。1≤≤16，且为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？

能力提高
1.右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．
5m
1m
10m
?
（1）求抛物线的解析式.
（2）求两盏景观灯之间的水平距离.
y
O
x

2．如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.
若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)

3.如图,五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形,AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．
（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求与的函数关系式，并求当为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？
（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由．
A
B
C
D
M
E
N
P
F

4．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

答案：
练习一
1.(1) 设y与x之间的关系式
(2)当x=50时
y=320c　　当地的最高温度大约是320c
2.解：（1）y＝4000x－600x－3000x＝400x
（2）设应把x吨进行粗加工，其余进行精加工，由题可得不等式：
≤20，解得：x≥30
设这时总获利y元，则y＝400x＋（4500－3000－900）（50－x）
化简得y＝－200x＋30000
由一次函数性质可知：这个函数y随x的增大而减少，当x取最小值30时，
y值最大；因此：应把30吨进行粗加工，另外20吨进行精加工，这样才能获得最大利润，最大利润为24000元。
3.(1)设一次函数表达式为y=kx+b，由温度计的示数得x=0，y=32；x=20时，y=68.将其代入y=kx+b，得(任选其它两对对应值也可) 　　.　　
　　　 (2)当摄氏温度为零下15℃时，即x=-15，将其代入，得

　　　 所以当摄氏温度为零下15℃时，华氏温度为5°F. 　
4.（1）设甲连续剧一周内播x集，则乙连续剧播(7－x)集
根据题意得　　　y＝20x＋15(7－x)　　　∴y＝5x＋105
（2）50x＋35(7－x)≤300
解得x≤3　　　又y＝5x＋105的函数值随着x的增大而增大。
又∵x为自然数　　当x＝3时，y有最大值3×5＋105＝120（万人次）
7－x＝4
答：电视台每周应播出甲连续剧3集，播放乙连续剧4集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是120万人次。
5. （1）60≤≤84；
（2）由题意得： ,∴
∴一次函数的解析式为：
（3）
∵抛物线开口向下，∴当时，随的增大而增大；
而60≤≤84
∴当时，
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元。

练习二
1. 解：⑴每个面包的利润为(x－5)角
卖出的面包个数为（300－20x）（或[160－（x－7）×20]）
⑵
即
⑶
∴当x=10时，y的最大值为500。
∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润500角
2. 解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．
（2）设生产产品的质量档次是在第档次时，一天的利润是（元），
根据题意得：

整理得：
当利润是1080时，即
解得： （不符合题意，舍去）
答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的利润为1080元．
3. (1) y=240x2+180x+45 (2)长1m 宽0.5m.
4. 解：（1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x－540）元；
（2）
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套；
5. 设提高价为元，利润为元，则每件所获利润为元，销售量为
件 y=
＝＝
＜∴时，得最大值是360 ，
所以当商店把销售单价提高到24元时，一个星期内得获利最大，最大利润是360元。

练习三
1．

2.（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则
解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式
∴所求的函数关系为p=－10x+1000
（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)
∴ y=－10x2+1400x－40000
(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y有最大值
∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。
3. ⑴经观察发现各点分布在一条直线上
∴设 （k≠0）
用待定系数法求得
⑵设日销售利润为z
则 =
当x=25时，z最大为225
每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元

练习三
4.（1）去皮前1.2千克，去皮后0.78千克。估计200个菠萝去皮前后总质量分别为240千克和156千克。（2）4元/千克。
5. ⑴依题意，可建立的函数关系式为：
　；即
　　⑵设销售利润为W，则W＝售价－进价
故W＝
化简得W＝
①当W＝时，∵≥0，函数随着增大而增大，∵1≤≤6
∴当时，W有最大值，最大值＝18.5
②当W＝时，∵W＝，当≥8时，函数随
增大而增大
∴在时，函数有最大值为
③当W＝时，∵W＝，∵12≤≤16，当≤16时，函数随增大而减小，
∴在时，函数有最大值为18
综上所述，当时，函数有最大值为18.

提高练习
1. （1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）
设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5
把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－
∴y=－(x－5)2＋5（0≤x≤10）
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4
∴4=－(x－5)2＋5 ∴ (x－5)2=1 ∴x1= x2=
∴ 两景观灯间的距离为5米．
2．(方法一)如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点，不答此点不扣分）所在的直线为x轴建立平面直角坐标系
则A（0，0.5），B(－450, 94.5)，…4分 C(450，94.5).
由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5.
将C(450，94.5)代入求得:
或.∴
当x=350时,y=57.4；当x=400时,y=74.8　　　　
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长都约为74.8米．
(方法二)如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的【竖直钢拉索与桥面连接点所在的（不答此点不扣分）】直线为x轴建立平面直角坐标系.
则B(- 450, 94),C(450,94)
设抛物线为：y＝ax2
将C(450,94)代入求得:
或.∴
当x =350时, y = 56.9，当x=400时, y=74.3
∴56.9+0.5=57.4， 74.3+0.5=74.8
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长约为74.8米.
3．解：（１）延长MP交AF于点H，则△BHP为等腰直角三角形．
BH＝PH＝130－x 　
DM＝HF＝10－BH＝10－(130－x)＝x－120
则　y＝PM·EM＝x·[100-(x-120)]＝－＋220x
由　0≤PH≤10
得　120≤x≤130　因为抛物线y＝－＋220x的对称轴为x＝110，开口向下．
所以，在120≤x≤130内，当x＝120时，y＝－＋220x取得最大值．
其最大值为　y＝12000 （㎡）　
（２）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置．
由题意，得
30×100＋120a≤12000×50%
30×4＋（12000－30×100－120a）×0.01＋×10×0.02≤150＋3a
解得　18≤a≤25　　　因为a为整数．
所以，到安置区建房的非安置户至少有19户且最多有25户时，政府才能将30户移民农户全部安置；否则，政府就不能将30户移民农户全部安置．
A
B
C
D
M
E
N
P
F
H

4. 解:（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，
得点A的坐标为（0.6，0.6），
代入y=ax2，得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2
（2）点D1，D2的横坐标分别为0.2，0.4，
代入y=x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：
y1=×0.22≈0.07，y2=×0.42≈0.27
∴立柱C1D1=0.6－0.07=0.53，C2D2=0.6－0.27=0.33，
由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：
2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米