解题策略--高考数学填空题.doc

高考数学填空题的解题策略
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
一、常用的解决方法
1、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
。
例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
例4在函数a、b、c成等比数列且，则f(x)有最_______值且该值为_______。
解：因为a、b、c成等比数列，可设b=aq，，则

例5 已知向量，若与a垂直，则实数k等于______________。
解：因为

2、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为4/5。
例2 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例3 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
例4 设a>b>1，则的大小关系是______________。
解：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：，。
例5 设是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，则q=______________。
解：因为非零的常数列是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为c的等差数列，可知q=1。
例6 椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________。
解：设P(x，y)，则当时，点P的轨迹为，由此可得点P的横坐标，又当P在x轴上时，，点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：。
3、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例1 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和
函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
例2 求值 。
解：，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而
所以可得结果为。
例3 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
例4 若函数上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________________。
解：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。

4、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例1 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。
例2 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
例3 函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
例4 二次函数的部分对应值如下表，则不等式的解集是_______________。

解：由已知，可转化为y=a（x+2）（x－3）。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
5、升华公式法
在解填空题时，常由升华的公式解答，使之起点高、速度快、准确率高。
例1 已知函数y=f(x)是奇函数，当时，。设f(x)的反函数是y=g(x)，则=_________________。
解：f(x)是奇函数，设x<0，则

。
6、特征分析法
有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解。
例1 已知函数，那么=
______________。
解：本题特征是：
故原式
7、归纳猜想法
由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论。
例1 设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3，……），则它的通项公式是________________。
解：因为，所以，而，则。
，

例2 方程____________。（结果精确到0.1）
解：由已知，。而，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时，，故填。
8、整体代入法
将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。
例1 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6、4、3，则它的体积等于 。
解：设三条棱长分别为，则。
得。
9、构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。
例1 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有
种（用数字作答）。
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球。因此可先将球
分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒
放1堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有（种）。
例2椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是
解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆 联立求得交点x02 ＝ x0∈（－ ，）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
10、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。
例3如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（填上你认为正确的一个条件
即可，不必考虑所有可能性的情形）。
解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可。

二、 定量型填空题的常用检验方法
1、代入检验
若题目求的是方程的解、参数值等有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致误。
例1（2006辽宁高考题）方程的解为 ．
错解：由条件得（x—1）（x+1）=4，解得：
检验：把 代入原方程检验知x=时对数没有意义，舍去。故原方程的解是： 2、赋值检验
若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。
例2（2004全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
1, n=1,
an= ,n≥2.
错解：由an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2) 与
---①
得
故 得！
检验：当n=2时a2=a1=1知解法有误，实际上①式仅对于成立。从而，得！（）。所以正确的答案是：！（）。
例3（06江苏高考题）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　
正确解答：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
检验：可取n=1，2时的值验证之。
3、作图检验
当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些主观意想的错误。
例4．求过点P（3，2），且与圆相切的直线方程。
误解：设所求切线方程为，即则圆心（4，1）到此切线的距离等于半径1，所以 ，
故所求的切线方程为y=2
检验：作出图形可以看出过一点作圆的切线应该是两条。为什么上面的解法只求出一条？原因是另一条是x=3，其斜率不存在。上面做法先设直线的斜率存在，第一步就把直线x=3排除了。正确的答案是：y=2 或x=3 .
4、极端检验
当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。
例5、已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围 ________________.
错解：由，解得-2<a<.
检验：若a=-2，则原不等式为-1≥0，解集是空集，满足题意；若a=，则原不等式为，即，解得x=，不满足题意。
故正确答案为-2≤a<.
5、多解检验
一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误。
例6、从8名男医生和7名女医生中，选出4名医生组成医疗队。其中至少有一名男医生和一名女医生，共有多少种不同的选法？
错解：先选出1男1女，再从剩下的13人中选出2人（男女不限），选法共有：
（种）
检验：法1，按男队员（或女队员）人数分为三类：一男三女，二男二女，三男一女，选法数共有：
法2，15名医生中选4名有种选法，其中全由男医生或女医生组成的不合要求，合要求的选法总数为：
从1，2知答案是：1260 。实际上错解表面上看没有问题，仔细一想有大量重复。如A、B、C与女a组成医疗队，选A、a，再选B、C；先选B、a，再选A、C；选C、a，再选A、B，都组成同一医疗队，此种解法含有很多重复。这种分步的标准是不对的。
6、回顾检验
由于考试时时间紧张，有些学生做题只顾速度快，不注意题目的条件，错看漏看条件从而导致解题错误。避免这样的错误要求同学们平时解题时养成良好的审题习惯和解题后再回顾审视题目反思的习惯。
例7、满足条件且的角的集合为____________.
错解：， 。
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，要角的取值注意要用集合表示，故正确的答案为
三、开放型填空题
1、多选型填空题
多选型填空题是指：给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论。这类题不论多选还是少选都是不能得分的。因此，要求同学们有扎实的基本功，而举反例是否定一个命题的最有效方法。
例1. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”。是公比为q的无穷等比数列，下列“基量”为_________组。
（1）；（2）；（3）；（4）q与（n为大于1的整数，为的前n项和）
解：因与q确定，则唯一确定一个数列，对（1）确定，即确定，即；对（2）当时，有，q=2这两个数列；对（3）当n为奇数，时，相等；对（4）q确定，是唯一的。故填（1）（4）。
2、探索型填空题
探索型填空题是指：从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备的相应条件。
例2. 若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm。
解：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为cm。
综上，大长方体的对角线最大为cm。
3、新定义型填空题
即定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题。这样必须紧扣新信息的意义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解。
例3. 定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列且，公和为5，那么的值为_______，且这个数列前21项和的值为_____________。
解：由定义及已知，该数列为{2，3，2，3，……}，所以。
4、组合型填空题
组合型填空题是指：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题。解题时，要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序。
例4. 是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：（1），（2），（3），（4）。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题_________。
解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：