江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题.doc

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江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题
[命 题：张园和]

本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回．
第I卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1．答第I卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位、姓名、准考证号填在指定的位置．
2．所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置, 不能答在试卷上。未填入答题纸的部分一律按零分计．
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合,则实数a的取值范围是
A． B． C．(－1,+∞) D．(－∞,－1)
2．若都是实数，i是虚数单位，则=
A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i
3．已知的值应是
A． B． C． D．
4．若函数的反函数为,则满足的x的集合是
A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(－1,1) D．(0, 1)
5．已知变量满足约束条件,则的取值范围是
A． B． C． D．
6．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
7．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且,则使得为整数的正整数n的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知椭圆有相同的准线,则动点P (n, m)的轨迹为
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
9．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,则与两点间的球面距离为
A. B. C. D.
10．如图,设P为△ABC内一点,且
则
A． B． C． D．
11．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于
A. B. C. D.
12．已知定义域为R上的函数单调递增，如果的值
A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负

第II卷 (共90分)
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸中的相应位置上．
13．在的展开式中，x5的系数为 .
14．当时,不等式恒成立,则的取值范围是 ．
15．若函数= .
16．对于函数, 存在一个正数,使得的定义域和值域相同, 则非零实数的值为__________.
三、解答题：本大题共6小题,共74分. 解答应写出必要的文字说明, 演算步骤或证明过程．
2,4,6
17．(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数是奇函数．
(1) 求的值；
(2)若对任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范围.

18．(本题满分12分) 在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节．主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、．
(1) 记先回答问题A的奖金为随机变量, 则的取值分别是多少？
(2) 你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．
19．(本小题满分12分) 已知函数(R,且)的部分图象如图所示．
(1) 求的值；
(2) 若方程
在内有两个不同的解,求实数m的取值范围．

20．(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面，,, 是的中点．

(1)证明；
(2)证明平面；
(3)求二面角的大小.

21．(本小题满分12分) 设不等式组 表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点、,且以线段为直径的圆与y轴相切？若存在,求出直线l的斜率;若不存在, 说明理由．

22．(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.
(1) 求数列及的通项公式;
(2) 求数列的前项和；
(3) 证明存在，使得对任意均成立．

江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛试题参考答案
命 题：张园和
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
A
C
D
A
C
A
D
C

题号
13
14
15
16
备 注
答案

1

[1] 解: 画出数轴,由图可知,选B.
[2] 解: 由得,所以.
[3] 解: ,故选B.
[4] 解: 因为, 所以,于是原不等式为,解得.
[5] 解: 画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为.表示可行域内的点与原点连线的斜率,当时取最大值6,当时取最小值.故选A.
[6] 解: 服从标准正态分布，

[7] 解: 由等差数列的前项和及等差中项，可得

，
故时，为整数。故选D
[8] 解:由已知得: , 化简为,轨迹为椭圆的一部分. 故选A.
[9] 解:半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为，选C。
[10] 解: 设. 则
. 所以,解得.于是.
[11] 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个. 由不等式a−2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种. 于是，所求事件的概率为.
[12] 解: 由题设知,的图象关于点对称. 又由已知,且, 由在时单调递增知,.故选C.
[13] 解: .
[14] 解: 由题设得,故只需求.由单调性知,在时, ,所以.
[15] 解: 易知为奇函数, 所以
.
[16] 解: 若，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求.若，对于正数，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.
17、解：(1)因为是奇函数, 所以=0, 即
又由知
(2) 解法一：由(1)知, 易知在上为减函
数。又因是奇函数，从而不等式：等价于
.因为减函数,由上式推得:．
即对一切有：, 从而判别式
解法二：由(1)知．又由题设条件得：

即：
整理得: .上式对一切均成立, 从而判别式
18、解：(1) 题意，的取值可以为0元，1000元，3000元
(2) 设先答A的奖金为元,先答B的奖金为元,则有
，,,所以
.
同理,, ,.所以
.
故先答A,能使所获奖金期望较大.
19、解：(1) 由图象易知函数的周期为()=，∴．
又, 且, 即, 解得: . 所以,
. [也可以按以下解释: 上述函数的图象可由的图象沿轴负方向平移个单位而得到，∴其解析式为．∴]
(2) ∴，∴．设，
问题等价于方程在（0，1）仅有一根或有两个相等的根．
方法一：∵- m = 3t2 - t，t Î(0, 1). 作出曲线C：y = 3t2 - t，t Î(0, 1)与直线l：y = - m的图象．
∵t =时，y =；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2．
∴当 - m =或0≤-m<2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：或
方法二：当 仅有一根在(0, 1)时，令则得到; 或时，或时（舍去）
当两个等根同在（0,1）内时得到，
综上所述，m的取值范围是：或
20、解：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．

(2) 证明：由，, 可得．
是的中点，．由(1)知，，且
，所以平面．而平面，
．底面在底面内的
射影是，，．又，
综上得平面．
(3) 解法一：过点作，垂足为，连结．则由(2)知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，可得
．
在中，，，则
．
在中，．所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．

，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
x
y
O
21、解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为，则
，即
．
由知，x－y<0，即x2－y2<0．
所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线的方程为
－＝1(y＞0)
设，，则以线段为直径的圆的圆心为.
因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，即

因为直线AB过点F(2，0)，当AB ^ x轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)．代入双曲线方程－＝1(y＞0)得:
k2(x－2)2－x2＝4，即
(k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是
x1＋x2＝，x1x2＝．
故 |AB|＝＝
＝＝|x1＋x2|＝||，
化简得：k4＋2k2－1＝0
解得: k2＝－1 （k2＝－－1不合题意，舍去）．
由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．
所以, k＝－
22、解：(1) 由得： .因为是正整数列,所以.于是是等比数列. 又,, 所以 .
因为 ,所以,于是:,说明是以2为公比的等比数列. 所以

因为, 由题设知： ，解得：。
又因为且，所以。
于是。
(2) 由得：.由及得：
设 ①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式, 得

于是,
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
(3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
　　　　 ③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
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