初一数学竞赛系列训练2答案.doc
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初一数学竞赛系列训练2答案 1、x=4,y=5,z=4,u=4,故x+y+z+u=17 选A 2、当n=2时,3n2-3n+3是3 的平方,当n=3时,5n2-5n-5是5 的平方,当n=4时,11n2-11n-11是11 的平方,所以选C 3、最小的奇质数3,小于50的的最大质数是47,大于60的最小质数是61,3+47+61=111 故选C 4、49是奇数,故两个质数中必有一个是偶数2,从而另一个是47,所以 故选B 5、∵56a+392b=23•7(a+7b) ∴a+7b含因子2和7 ∵要求a+b取最小值,∴取a=7,于是1+b=2,b=1, ∴a+b的最小值为8 6、除2以外的质数都是奇数,从而r是奇质数,于是p和q必是一奇一偶,又p<q 故p=2,选A 7、84 8、设这个正整数为a,由题意得a-54=m2 ①,a+35=n2 ②, ②-①得 n2 - m2 =89 ∴(n+m) (n-m)=89 ∴ 解得 n=45,m=44 从而a=54+442 =1990 9、设a为质数,b为正奇数,则a2+b=125,所以a2必为偶数,从而a为偶数. 所以a=2,从而b=121,所以 ab=242 10、p=3, 所以1997+p4=2078 11、n除以3所得的余数只可能是0、1、2 若余数为0,即n=3k,则n+3=3k+3=3(k+1),n+3不是质数 若余数为2,即n=3k+2,则n+7=3k+9=3(k+3) ,n+7不是质数 所以n除以3所得的余数只可能是1 12、 ∵n1与n2是整数,∴n1+n2、n1-n2都是整数,而79是一个质数,由质数的性质,同时注意到n1+n2>n1-n2 所以有n1+n2=79、 n1-n2=1,解得n1=40,n2=39 13、设N==(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b) =111(a+b+c)=337(a+b+c) 要使N是一个完全平方数,只有a+b+c至少含有3和37这两个因数,由于a、b、c只能取0,1,2,…,9(a≠0),所以a+b+c≤27<37,所以37∣(a+b+c)是不可能的 则对任意的三位数,都不可能成为完全平方数 14、∵=11(100x+y)是一个完全平方数,则11∣(100x+y) 又∵100x+y=99x+(x+y),∴11∣(x+y) 而1<x+y≤18, ∴x+y=11 经验证x=7,y=4 故所求四位数是7744。 15、∵a、b、c、d都是质数,且10<c<d<20,于是c可取11、13、17,而d可取13、17、19,又∵c-a是大于2的质数,所以a=2,注意到c<d,则c=13 (1) 若d=17,则172-132=8b(2+b),即b2+2b-15=0 ∴b=3若b=-5(不合,舍去)。 (2) 若d=19,则192-132=8b(2+b),即b2+2b-24=0 ∴b=4若b=-6(都不合,舍去)。 ∴a=2,b=3,c=13,d=17 16、由4m=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)=(2ab+2cd+a2+b2-c2-d2) (2ab+2cd-a2-b2+c2+d2) =[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]=(a+b+c-d) (a+b-c+d) (a-b+c+d) (-a+b+c+d) ① 注意到①式最后四个因式都是偶数,所以4m是16的倍数,所以必是4的倍数,所以是合数。 17、设三位数为A=100a+10b+c,其中a,b,c为0,1,2,…,9的整数,且a≠0 由题意 100a+10b+c=n2,abc=n-1,显然c≠0,否则n=1,A=1不是三位数 若c为偶数,则abc=n-1也为偶数,则n为奇数,从而n2为奇数,但个位数为偶数,所以这不可能。 若c为奇数,由于A是完全平方数,则c只能是1,9,5 又由 100≤n2<1000,得10≤n≤31, ∴9≤n-1≤30,则9≤abc≤30, 当c=9时,1≤ab≤3,则A只能是119,219,129,139,319,这五个数都不是完全平方数。 当c=5时,2≤ab≤6,则A只能是125,215,135,315,225,145,415,155,515,165,615,235,325。其中只有225是完全平方数,但是225=152,而2´2´5≠15-1 所以不合题意。 当c=1时,1≤ab≤30,此时三位平方数只有121,361,441 一一验证:121=112,1´2´1≠11-1,441=212,4´4´1≠21-1,361=192,3´6´1=19-1 所以所求的三位数为361。 18、因为n1是大于3的质数,所以n1不是3的倍数且n1是奇数,故可设 n1=3k+1或n1=3k+2(k为正整数)。 当n1=3k+1时,=(3k+1)2-1=9k2+6k=3(3k2+2k),所以3½ 当n1=3k+2时,=(3k+2)2-1=9k2+6k+3=3(3k2+2k+1),所以3½ 又因为n1是奇数,所以又可设n1=2k+1,从而=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k (k+1) 因为k 与k+1是连续的整数,所以8½4k (k+1),即8½ 由于3与8互质,所以24½,同理24½ 综上所述,M与N的最大公约数至少为24。 19、当n=41k(k=1,2,…)时,41½ n2+n+41,所以n2+n+41是合数 20、先研究使得p和8p2+1都是质数的p。 若p>3,则可设p=3k±1, 则8p2+1=8 (3k±1)2+1=3 (24k2±16k+3) , 由k为正整数可知24k2±16k+3>1 于是8p2+1是合数,所以p只能是2或3 若p=2,8p2+1=33是合数,于是p¹2, 若p=3,8p2+1=73是质数,所以p=3 当p=3时,8p2-p+2=71,因为71是质数,于是本题得证。 - 3 -- 配套讲稿:
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