高考第一轮复习数学：3.5数列的应用.doc

3.5 数列的应用

●知识梳理
1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.
2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.
3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.
●点击双基
1.已知{an}是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有an=n2+λn成立，则实数λ的取值范围是
A.λ＞0 B.λ＜0 C.λ=0 D.λ＞－3
解析：由题意知an＜an+1恒成立，即2n+1+λ＞0恒成立，得λ＞－3.
答案：D
2.设a1，a2，…，a50是从－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为
A.10 B.11 C.12 D.13
解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+…+a502=39，故此50个数中有11个数为0.
答案：B
3.如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______________.

解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+…+（n－1）=.
答案：
4.已知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算a1·a2=log23·log34=·=2，
a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=··…··=3.
……
定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈N*）叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2008时，企盼数k=______________.
解析：由a1·a2·…·ak=···…·==log2（k+2）=2008，解之得k=22008－2.
答案：22008－2
●典例剖析
【例1】 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:（1）2005年底的住房面积为1200（1+5%）－20=1240（万平方米），
2006年底的住房面积为1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），
∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2024年底的住房面积为
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
≈2522.64（万平方米），
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.
【例2】 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解：设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.
an=1000+（n－1）·100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.
依题意，得
1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化简得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.
评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.
【例3】 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.
（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；
（2）求数列{an}的第n+1项an+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）
剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.
解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.
于是a1+b1=1，an+bn=1.
依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是
an+1=an+bn=an+（1－an）=an+.
（2）an+1=an+，an+1－=（an－）.
数列{an－}是公比为，首项a1－=－=－的等比数列.
∴an+1=+（－）（）n.
（3）an+1＞60%，+（－）（）n＞，（）n＜，n（lg9－1）＜－lg2，n＞≈6.5720.
至少需要7年，绿化率才能超过60%.
思考讨论
你知道他是怎么想出{an－}中的来的吗？
●闯关训练
夯实基础
1.某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是
A. B. C. D.
解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x；
二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.
由题意知（）2S－x－x=S（1+50%），
解得x=.
答案：C
2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为
A.f（n+1）－f（n）=n+1 B.f（n+1）－f（n）=n
C.f（n+1）=f（n）+2n D.f（n+1）－f（n）=1
答案：A
3.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元.
解析：存款从后向前考虑
（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5
==［（1+p）7－（1+p）］.
注：2008年不再存款.
答案：［（1+p）7－（1+p）］
4.某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.
解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，
∴S5==11×（1.15－1）a.
答案：11×（1.15－1）a
5.从盛满a L（a＞1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出1 L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.
解：每次用水填满后酒精浓度依次为，（）2，（）3，…，
故每次倒出的纯酒精为1，，（）2，…，（）n－1，….
∴第九、十两次共倒出的纯酒精为
（）8＋（）9＝（）8（1＋）
＝.
培养能力
6.已知直线l上有一列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，其中n∈N*，x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段所成的比为λ（λ≠－1）.
（1）写出xn+2与xn+1，xn之间的关系式；
（2）设an=xn+1－xn，求数列{an}的通项公式.
解：（1）由定比分点坐标公式得xn+2=.
（2）a1=x2－x1=1，
an+1=xn+2－xn+1=－xn+1=－（xn+1－xn）=－an，
∴=－，即{an}是以a1=1为首项，－为公比的等比数列.
∴an=（－）n－1.
7.（2002年春季北京，21）已知点的序列An（xn，0），n∈Ｎ*，其中xl＝0，x2＝a（a＞0），A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….
（1）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥３）；
（2）设an＝xn＋1－xn，计算al，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明.
解：（1）当n≥3时，xn=.
（2）a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=－x2=－（x2－x1）=－a，
a3=x4－x3=－x3=－（x3－x2）=－（－a）=a，
由此推测：an=（－）n－1a（n∈N*）.
证明如下：因为a1=a＞0，且an=xn+1－xn=－xn==－（xn－xn－1）=－an－1（n≥2），所以an=（－）n－1a.
探究创新
8.（2004年春季北京，20）下表给出一个“等差数阵”：
4
7
（ ）
（ ）
（ ）
…
a1j
…
7
12
（ ）
（ ）
（ ）
…
a2j
…
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
a3j
…
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.
（1）写出a45的值；
（2）写出aij的计算公式；
（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
（1）解：a45=49.
（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1），
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1），
……
第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，
因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.
（3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，
从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=akl，
可见N在该等差数阵中.
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
●思悟小结
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
●教师下载中心
教学点睛
1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.
2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.
3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.
4.强化转化思想、方程思想的应用.
拓展题例
【例1】 杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据，解决下列问题：
（1）引进该设备多少年后，开始盈利？
（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
问哪种方案较为合算？并说明理由.
解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n－（12n+×4）－98=－2n2+40n－98，由y＞0，得10－＜n＜10+.
∵n∈N*，∴3≤n≤17，
即3年后开始盈利.
（2）方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，
当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.
方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，
即经过10年盈利总额最大，
共计盈利102+8=110万元.
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.
【例2】 据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.
（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.0810≈2.159）
（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2004年底该市堆积的垃圾数量……bn表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b1；②试归纳出bn的表达式（不用证明）.
解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意，得
10+x+1.08x+1.082x+…+1.089x=50，∴·x=40.∴x=×40≈2.76万吨.
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.
（2）①b1=50×80%+3=43（万吨）.
②∵b1=50×80%+3=50×+3，
b2=b1+3=50×（）2+3×+3，
b3=b2+3=50×（）3+3×（）2+3×+3，
∴可归纳出bn=50×（）n+3×（）n－1+3×（）n－2+…+3×+3
=50×（）n+3×=50×（）n+15［1－（）n］=35×（）n+15.
这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.