2015年浙江省杭州市中考数学试卷(解析版).doc

2015年浙江省杭州市中考数学试卷解析
（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、仔细选一选(本题有10个小题，每小题3分，共30分)下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1、（2015年浙江杭州3分）统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为【 】
A. 11.4×104 B. 1.14×104 C. 1.14×105 D. 0.114×106
【答案】C.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，
∵11.4万=114 000一共6位，∴11.4万=114 000=1.14×105.
故选C.
2、（2015年浙江杭州3分）下列计算正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】有理数的计算.
【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：
A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项正确；
D. ，选项错误.
故选C.
3、（2015年浙江杭州3分）下列图形是中心对称图形的是【 】
A. B. C. D.
【答案】A．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，
A、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；
B、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
C、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；
D、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．
故选A．
4、（2015年浙江杭州3分）下列各式的变形中，正确的是【 】
A. B.
C. D.
【答案】A．
【考点】代数式的变形.
【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：
A. ，选项正确；
B. ，选项错误；
C. ，选项错误；
D. ，选项错误.
故选A．
5、（2015年浙江杭州3分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=【 】
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
【答案】D．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.
故选D．
6、（2015年浙江杭州3分）若 (k是整数)，则k=【 】
A. 6 B. 7 C.8 D. 9
【答案】D．
【考点】估计无理数的大小.
【分析】∵，
∴k=9.
故选D．
7、（2015年浙江杭州3分）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程【 】
A. B.
C. D.
【答案】B.
【考点】由实际问题列方程.
【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为公顷，林地面积为公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即. 故选B.
8、（2015年浙江杭州3分）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是【 】

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C.
【考点】折线统计图；中位数.
【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：
①18日的PM2.5浓度最低，原说法正确；
②这六天中PM2.5浓度按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数是第3，4个数的平均数，为µg/cm2，原说法错误；
③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确；
④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，原说法正确.
∴正确的说法是①③④.
故选C.
9、（2015年浙江杭州3分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为【 】

A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】概率；正六边形的性质.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长度为：AC、AE、BD、BF、CE、DF，
∴所求概率为.
故选B.
10、（2015年浙江杭州3分）设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则【 】
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系.
【分析】∵一次函数的图象经过点，
∴.∴.
∴.
又∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，函数的图象与轴仅有一个交点，
∴函数是二次函数，且它的顶点在轴上，即.
∴..
令，得，即.
故选B.
二、认真填一填(本题有6个小题，每小题4分，共24分)
11、（2015年浙江杭州4分）数据1，2，3，5，5的众数是 ▲ ，平均数是 ▲
【答案】5；3.2.
【考点】众数；平均数
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5.
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是.
12. （2015年浙江杭州4分）分解因式： ▲
【答案】.
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：.
13、（2015年浙江杭州4分）函数，当y=0时，x= ▲ ；当时，y随x的增大而 ▲ (填写“增大”或“减小”)
【答案】；增大.
【考点】二次函数的性质.
【分析】函数，当y=0时，即，解得.
∵，
∴二次函数开口上，对称轴是，在对称轴右侧y随x的增大而增大.
∴当时，y随x的增大而增大.
14、（2015年浙江杭州4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为 ▲ _度(用关于α的代数式表示)

【答案】.
【考点】平角定义；平行的性质.
【分析】∵度，∴度.
∵CD平分∠ECB，∴度.
∵FG∥CD，∴度.
15、（2015年浙江杭州4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数的图象经过点Q，则= ▲
【答案】或
【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.
【分析】∵点P(1，t)在反比例函数的图象上，∴.∴P(1，2).
∴OP=.
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，
∴Q或Q.
∵反比例函数的图象经过点Q，
∴当Q时，；Q时，.
16、（2015年浙江杭州4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= ▲

【答案】或.
【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.
如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：
如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，
易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.
设BN=DN=，则NH=.
根据题意，得，∴BN=DN=2， NH=1.
易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在中，CN=.
∴CD=.
如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H，
易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°.
设BC=CE =，则BH=.
根据题意，得，∴BC=CE =2， BH=1.
在中，CH=，∴EH=.
易证，∴，即.
∴.
综上所述，CD=或.
三、全面答一答(本题有7个小题，共66分) 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
17、（2015年浙江杭州6分）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图.
（1）试求出m的值；（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.

【答案】解：（1）.
（2）∵，
∴其中混杂着的玻璃类垃圾约为1.8吨.
【考点】扇形统计图；用样本估计总体.
【分析】（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可.
（2）根据用样本估计总体的观点，用计算即可.
18、（2015年浙江杭州8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN.

【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴.
又∵AB=AC，∴.
∵AD平分∠BAC，∴.
又∵AD=AD，∴.
∴DM=DN.
【考点】全等三角形的判定和性质.
【分析】要证DM=DN只要即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分∠BAC，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC证得.
19、（2015年浙江杭州8分）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，
∴，即.
∴.∴点B的反演点B′与点B重合.
如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，
∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形.
∵，∴B′M⊥OM.
∴在中，由勾股定理得.
【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得A′B′的长.
20、（2015年浙江杭州10分）设函数 (k是常数)
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论
（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.

【答案】解：（1）作图如答图：

（2）函数 (k是常数)的图象都经过点（1，0）.（答案不唯一）
（3）∵，
∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为.
∴当时，函数y3的最小值为.
【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.
【分析】（1）当时，函数为，据此作图.
（2）答案不唯一，如：
函数 (k是常数)的图象都经过点；
函数 (k是常数)的图象总与轴交于（1，0）；
当k取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称；
等等.
（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移后的表达式，根据二次函数的性质求出最值.
21、（2015年浙江杭州10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹).

【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即时满足a<b<c.
如答图的即为满足条件的三角形.

【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：，再作图：
①作射线AB，且取AB=4；
②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC.
则即为满足条件的三角形.
22、（2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E
（1）若，AE=2，求EC的长
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由

【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.
∴.
∵，AE=2，∴，解得.
（2）①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：
∵，∴.
又∵，∴.
∴. ∴.
又∵，∴. ∴.
∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.
②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：
∵，
又∵DE⊥AC，∴. ∴.
∴. ∴CP2⊥FG2.
∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.
③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.
【分析】（1）证明DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.
（2）分，和CD为∠ACB的平分线三种情况讨论即可.
23、（2015年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20<y<30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.

【答案】解：（1）设线段BC所在直线的函数表达式为，
∵，∴，解得.
∴线段BC所在直线的函数表达式为.
设线段CD所在直线的函数表达式为，
∵，∴，解得.
∴线段BC所在直线的函数表达式为.
（2）∵线段OA所在直线的函数表达式为，∴点A的纵坐标为20.
当时，即或，
解得或.
∴当时， t的取值范围为或.
（3），.所画图形如答图：

（4）当0时，，
∴丙距M地的路程与时间的函数关系式为.
联立，解得与图象交点的横坐标为，
∴丙出发后与甲相遇.

【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.
【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式.
（2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.
（3）求函数表达式画图即可.
（4）求出与时间的函数关系式，与联立求解.