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二次函数的实际应用
1、二次函数和一元二次方程的关系；
已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程_________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．
一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0且a≠0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0且a≠0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0且a≠0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
针对性练习
1．特殊代数式求值：
①如图 看图填空：
（1）a＋b＋c_______0
（2）a－b＋c_______0
（3）2a－b _______0

②如图 2a＋b _______0

4a＋2b＋c_______0

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；
（ （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

典型例题
例1、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔABM=8，求它的解析式

例2、已知抛物线y=x2-mx+m-2,
　　(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
　　(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值

函数解析式的求法
1、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
例．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

练习．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

2、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。
例．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

练习．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

3、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。
例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

练习：1．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ .
2．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。
3．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1） 当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=

（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4） 当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5） 抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

二次函数的应用
典型例题
例1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.
(1)试求y与x的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

例2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。
（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

针对性练习
1.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。
(1)求Y与X之间的函数关系式；
(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；
(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

B
2、 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表所示：
(1)求y与x的函数的关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数关系式?
(3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?

3、 某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s 与t之间的关系）。
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系式；
（2） 求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；
（3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？

课后练习
1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．
2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根 D．无实数根
4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；
④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．
5、根据图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；
（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；
（9）当y＞0时，x的范围为___________；
（10）当y＜0时，x的范围为___________；
6．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

8．知二次函数图象顶点坐标（－3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

9．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

10．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？

11．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

12．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － +2上，求函数解析式。

13、 已知二次函数y= x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

14、 已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

15、 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：
（1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2） 若菜农身高为1.60米，则在他不
弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）

16、 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，
且函数有最大值是2。
（1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。

17、 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
　　(1)求A、B两点的坐标；
　　(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？