高考第一轮复习数学：2.11函数的应用.doc

2.11 函数的应用

●知识梳理
解函数应用问题的基本步骤：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：引进数学符号，建立数学模型.
一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.
●点击双基
1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价
A.10% B.9% C.11% D.11%
解析：设提价x%，则a（1－10%）（1+x%）=a，∴x=11.
答案：D
2.今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
A.v=log2t B.v=logt C.v= D.v=2t－2
解析：特值检验，如：当t=4时，v==7.5.
答案：C
3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A.3 B.4 C.6 D.12
解析：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×=2x（6－x），∴当x=3时，y最大.
答案：A
4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为______________.
答案：y=0.9576
5.建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m时总造价最低是___________元.
解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·＝12（x＋）（m2），池底面积为x·＝（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为
y＝12a（x＋）＋a.定义域为（0，＋∞）.
x＋≥2＝（当且仅当x=即x=时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160a＋a）元.
答案：y=12a（x+）+a （0，+∞） 160a+a
●典例剖析
【例1】 （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.
解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则y＝a（1＋p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.
（2）设成本经过x年降低到y元，则y＝a（1－p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.
特别提示
增长率问题是一重要的模型.
【例2】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：
级 数
全月纳税所得额
税 率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
…
…
…
9
超过10000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；
（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于
A.800~900元 B.900~1200元
C.1200~1500元 D.1500~2800元
（1）解：依税率表，有
第一段：x·5%，0＜x≤500，
第二段：（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤2000，
第三段：（x－2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x≤5000，
即f（x）=
（2）解：这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，f（2200）=0.15×（2200－2000）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.
（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.
解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.
答案：C
评述：本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.
特别提示
分段函数在新课标中占有重要地位.
【例3】 某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕
解：（1）设下调后的电价为x元／（千瓦·时），依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
深化拓展
某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.
提示：设全年的运输和保管总费用为y元，
则y=×400+k·（2000x）.据题设，x=400时，y=43600，解得k=5%.
∴y=+100x≥2=2400（元）.
因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.
答案：每批购入120台可使资金够用.
【例4】 （2003年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？并说明理由.
剖析：第（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为cn=1270+230n－2000×1.05n－1，需要转化为cn＞cn－1，cn＞cn+1，则cn最大.
解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230×（n－1）（n∈N*），bn=2000·（1+5%）n－1（n∈N*）.
（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+…+a10）=304200（元）；
若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+…+b10）≈301869（元）.
因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.
（3）问题等价于求cn=an－bn=1270+230n－2000×1.05n－1（n∈N*）的最大值.
当n≥2时，cn－cn－1=230－100×1.05n－2.
当cn－cn－1＞0，即230－100×1.05n－2＞0时，1.05n－2＜2.3，得n＜19.1.
因此，当2≤n≤19时，cn－1＜cn；当n≥20时，cn≤cn－1.
∴c19是数列{cn}的最大项，c19=a19－b19≈827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
●闯关训练
夯实基础
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是

答案：D
2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.
A.2 B.4 C.5 D.6
解析：设年平均利润为g（x），则g（x）==12－（x+）.∵x+≥2=10，∴当x=，即x=5时，g（x）max=2.
答案：C
3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）
解析：设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.
两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.
∴lg（1+x）==0.0602.∴1+x=100.0602.
又∵lg11.49=1.0602，∴11.49=101.0602=10·100.0602.
∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.
答案：14.9%
4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）=4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________.（总利润=总收入－成本）
解析：L（Q）=4Q－Q2－（200+Q）=－（Q－300）2+250.
答案：250 300
5.（2003年福州市质量检测题）沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？
分析：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.
（1）解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，
而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，∴y=（1≤x≤10）.
（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，y=f（x）为增函数.
设1≤x1＜x2≤10，则f（x1）－f（x2）=－
==.
∵1≤x1＜x2≤10，a＞0，∴由f（x1）＜f（x2），得88800－3180a＞0.
∴a＜≈27.9.又∵a∈N*，∴a=27.
解法二：∵y=（）=［1+］，
依题意得53－＜0，∴a＜≈27.9.
∵a∈N*，∴a=27.
答：该村每年人口的净增不能超过27人.
培养能力
6.（2005年春季北京，19）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意，y=≤=，
当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）.
（2）由条件得＞10，
整理得v2－89v+1600＜0，
即（v－25）（v－64）＜0.解得25＜v＜64.
∴当v=40 km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25 km/h且小于64 km/h.
7.（2003年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.
∴g（x）=，h（x）=，
即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）.
（2）g（x）－h（x）=－=.
∵0＜x＜216，∴216－x＞0.
当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.
∴f（x）=
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.
当0＜x≤86时，f（x）递减，∴f（x）≥f（86）==.
∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.
当87≤x＜216时，f（x）递增，∴f（x）≥f（87）==.
∴f（x）min=f（87），此时216－x=129.∴f（x）min=f（86）=f（87）=.
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129.
探究创新
8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：
Wish you success，分组为Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到
,,,,,,,
其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26这26个自然数，见表格：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下一个变换公式将明文转换为密文.如
→→，即ce变成mc（说明：29÷26余数为3）.
又如→→，即wi变成oa（说明：41÷26余数为15，105÷26余数为1）.
（1）按上述方法将明文star译成密文；
（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文.
解：（1）将star分组：st，ar，对应的数组分别为，
由得→，→.
∴star翻译成密文为ggkw.
（2）由得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为，,由得→→，→.
∴密文kcwi翻译成明文为good.
●思悟小结
1.数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题，也就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题.
2.所谓数学模型，简单地说，就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂.
●教师下载中心
教学点睛
1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力；有利于对数学思想方法的应用；有利于培养学生的用数学意识.
2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：

拓展题例
【例1】 （2002年春季高考）用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是
A.2×5 B.2×5.5 C.2×6.1 D.3×5
解析：设水箱底长a，宽b，高h，则abh=4，
∴h=.∴S=ab+2ah+2bh=ab++≥3=12，当且仅当a=b时等号成立.
∴至少要钢板12 m2.
答案：C
评述：若a、b、c∈R+，则有a+b+c≥3，当且仅当a=b=c时等号成立.
【例2】 （2001年春季高考）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解：（1）由题意得y＝［1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）］×1000（1＋0.6x）（0＜x＜1），
整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保证本年度的利润比上年有所增加，必须
即解得0＜x＜.
∴为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜0.33.
评述：本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力.