四年级奥数讲义350学子教案库第05讲平均数问题.doc

第五讲 平均数问题
1.求下列20个数的平均数：
306，312，306，308，314，304，318，311，313，315，
314，310，310，320，300，316，320，312，314，315。
解：这是一道很简单的题目，可能计算能力很强的同学能够很快算出来。但是如果掌握了平均数的思想，一定可以算得更快。我们观察每一个数，发现它们都是3位数，而且都是300加上一个不大的数。这样，我们只计算每个数的十位和百位，算出平均数再加上300，就得到这20个数的平均数。
把每个数都减去300，然后求其平均数：
(6+12+6+8+14+4+18+11+13+15+14+10+10+20+0+16+20+12+14+15)÷20
＝11.9
那么原来的20个数的平均数为
300+11.9＝311.9

2.某8个数的平均数为50，若把其中的一个数改为90，则平均数变成了60。问被改动的数原来是多少？
解：8个数的平均数由80变成了90，那么它们的总和增加了多少也就可以知道了。因为只有一个数变了，这个数变化的值也就可以知道了。
8个数的总和增加了（90－80）×8＝80
所以被改动的数增加了80，那么它原来是
90－80＝10

3.7个数的平均数是29，把7个数排成一列，前3个数的平均数是25，后5个数的平均数为38，则第三个数是多少？
解：前三个数的和为25×3=75
后五个数的和为32×5=160
这8个数的和为160+75=235
其中包含着7个数的和与第三个数的和
7个数的和为29×7=203
所以第三个数是235-203=32。

4.五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分,平均得9.58分;只去掉一个最高分,平均得9.46分;只去掉一个最低分,平均得9.66分.这个运动员的最高分与最低分相差多少?

解：最低分: 9.464-9.583=9.10(分)
最高分: 9.664-9.583=9.90(分)
最高分与最低分相差: 9.90-9.10=0.8(分)

5.某校有70名男同学及若干女同学参加数学竞赛，平均分为63分，参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校有多少女同学参赛？
解：因为女同学平均分为70分，男女同学的总平均分为63分，女同学平均分高出男女同学混合平均分70-63=7 分。这也就是说每个女同学都应该调剂给男同学7分。
而女同学调剂给男同学的总分数（63-60）×70=210（分）；
女同学人数210÷（70-63）=30（人）。
所以该校共有30名女同学参赛。

6.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.
23, 26, 30, 33
A、B、C、D 4个数各是多少？

解：四个数之和为：23+26+30+33=112
四个数分别为：
112-23×3=43
112-26×3=34
112-30×3=22
112-33×3=13

7.有四个数，每次选其中3个，算出它们的平均数，再加上另一个数，用这种方法，计算了四次，分别得到以下四个数，86，92，100，106那么原四个数的平均数是多少？
解：设四个数为a, b, c, d 则由于四次结果各个不同，所以恰好四次抽取的是不同的三个人，不妨得到如下结果
×（a+ b+ c）+ d =86
×（a+ b+ d）+ c=92
×（a+ c+ d）+ b=100
×（b+ c+ d）+a=106
将这四个式子相加×（3a+3b+3c+3d）+a+b+c+d=384
所以2×（a+ b+ c+ d）=384
所以四个数的平均数×（a+ b+ c+ d）=384÷8=48。

8.某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米。而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿。问这个人骑车过这座桥的平均速度是每小时多少千米？
解：题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便。仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不影响平均速度的。我们自己设一个路程好了。
总路程是不影响平均速度的，为计算方便，不妨设为48千米。来回两段路，所以每段路是48÷2=24（千米）
总时间是24÷12 + 24÷24＝3（小时）
所以平均速度是48÷3＝16（千米/小时）

9.老师在黑板上写出了若干个从1开始的连续自然数1，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，剩下的数的平均数是10.8。求被擦掉的那个自然数。
解：首先我们要估计一下大概有多少个自然数，然后才有分析讨论的可能。
假设老师没有擦掉任何数，那么前n个正整数的平均数是
(n＋1)×n÷2÷n＝(n＋1)÷2
如果这个数是10.8，n应该是19.6，这不是一个整数。那么我们看接近它的整数：
前19个正整数的平均数是(19＋1)÷2＝10，比10.8小。那么只要擦掉一个较小的数就能提高平均值。擦掉一个数后剩下18个，那么擦掉的数是：
10×19－10.8×18＝－4.4
这既不是一个正数也不是一个整数，当然不行。而且我们发现，如果按前18个数计算，那么擦掉的数是
9.5×18－10.8×17＝－12.6
这比刚才更远离实际了，所以将数列缩短肯定是一个错误的趋势。那么我们看增长数列会怎样：
前20个正整数的平均数是(20＋1)÷2＝10.5
擦掉一个数后剩下19个，那么擦掉的数是：
10.5×20－10.8×19＝4.8
虽然这还不是一个整数，但比刚才有了进步，因为是个正数了。那么数列长度增长到21时，擦掉的数是
11×21－10.8×20＝15
这就是完全可能的了。10.8至少要乘以5的倍数才会出现整数，那么我们把数列长度再增长5，看看数列长度为26时会发生什么情况：
(26＋1)÷2×26－10.8×25＝81
81根本还没被老师写到黑板上。这时这个方向的趋势也被我们否定了。
所以老师擦掉的数是15。

10.某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
解：4个人调整为二等奖，使得二等奖平均分提高了1分，也就是这4个人可以“捐献”给每个人1分（总共20分，平均每人“捐献”5分），使自己依然留有提高了1分的平均分。
这样，相当于这4个被划为二等奖的人平均高出原有的二等奖平均分6分。
10个人中减去了4个，平均分提高3分。这个条件如果反过来用，就是“在其余6个一等奖中加上这4个人，平均分降低3分”。这就和刚才的条件类似了。可以假设6个一等奖每人拿出3分（共18分）分给4个变成二等奖的人（平均每人分到4.5分），那4个人才能达到降低了3分的平均分。
注意：“降低了3分的平均分”实际就是没有提高前的一等奖平均分，这也就相当于原有的一等奖平均分比那4个人的平均分高4.5分。
这样一来，就有这样的关系：
原一等奖平均分－4.5＝原二等奖平均分 + 6
通过这个式子，我们得到原一等奖平均分比二等奖平均分多的分数，就是这两个数的和：4.5 + 6＝10.5分。

作业：
1.有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.
答案：6人
(13+5)(90-87)=6(人)

2.有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:
86, 92, 100, 106
那么原4个数的平均数是________ .
答案：48
(86+92+100+106)24=48

3.甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃,甲拿出5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙没付钱.等吃完结算,丙应付4角钱,那么甲应收回钱_______分.
答案：35分
4038=15(分)
155-410=35(分)

4.今年前5个月,小明每月平均存钱4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元?
答案：10月份
10月份起超过5元,以5元为基数,前5月平均每月少5-4.2=0.8(元),6月起平均每月增加6-5=1(元)
(5-4.2) 5(6-5)=4
从6月起,4个月后每月平均储蓄就超过5元.

5.甲班有51人，乙班有49人，甲班平均分80分，乙班平均分90分，那么两个班平均分为多少？
答案：甲班的总分51×80=4080分
乙班的总分90×49=4410分
两个班级的总分为4080+4410=8490分
两个班级的总人数为49+51=100个
所以两个班的平均分数为8490÷100=84.9分。