小学四年级奥数第二讲速算与巧算（四）.doc

第二讲 速算与巧算（四）
例1 比较下面两个积的大小：
　　A＝987654321×123456789，
　　B＝987654322×123456788.
　　分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.
　　解： A＝987654321×123456789
　　 ＝987654321×（123456788＋1）
　　 ＝987654321×123456788＋987654321.
　　B＝987654322×123456788
　　 ＝（987654321＋1）×123456788
　　 ＝987654321×123456788＋123456788.
　　因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.
例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.
　　241×249 242×248 243×247
　　244×246 245×245.
　　解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.
　　241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；
　　242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；
　　243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；
　　244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；
　　245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.
　　恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.
　　一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.
　　如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5
　　则5×5＝25积最大.
例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.
　　解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：
　　1986×5＝9930.
例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.
　　解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
　　总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.
　　如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.
　　巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.
例5 将1～1001各数按下面格式排列：

　　一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：
　　①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.
　　解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.
　　①1986不是9的倍数，故不行；
　　②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；
　　③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.
　　这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.