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含绝对值的导数题.doc
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1、_1.已知函数(1)求函数的极值;(2)求函数的单调区间;解:(1)g (x)lnxx1,g(x)1,当0x1时,g(x)0;当x1时,g(x)0,可得g (x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,故g (x)有极大值为g (1)0,无极小值 (2)h(x)lnx|xa|当a0时,h(x)lnxxa,h(x)10恒成立,此时h(x)在(0,)上单调递增;当a0时,h(x) 当xa时,h(x)lnxxa,h(x)10恒成立,此时h(x)在(a,)上单调递增; 当0xa时,h(x)lnxxa,h(x)1 当0a1时,h(x)0恒成立,此时h(x)在(0,a)上单调递增; 当a1时,当0x
2、1时h(x)0,当1xa时h(x)0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减 综上,当a1时,h(x)的增区间为(0,),无减区间; 当a1时,h(x)增区间为(0,1),(a,);减区间为(1,a)设,函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程;(2) 当时,求函数的最小值.解(1)当时,令 得 所以切点为(1,2),切线的斜率为1,所以曲线在处的切线方程为:。(2)当时, ,恒成立。 在上增函数。故当时, 当时,()(i)当即时,在时为正数,所以在区间上为增函数。故当时,且此时(ii)当,即时,在时为负数,在间 时为正数。所以在区间上为减函数,在上为增函数故当时,且此时(
3、iii)当;即 时,在时为负数,所以在区间1,e上为减函数,故当时,。综上所述,当时,在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为;当时,在时的最小值为,而,所以此时的最小值为。当时,在时最小值为,在时的最小值为,而,所以此时的最小值为所以函数的最小值为 已知函数.( I )若, 求+在2,3上的最小值;( II)若时, , 求的取值范围;(III)求函数在1,6上的最小值. 解:(1)因为,且2,3,所以,当且仅当x=2时取等号,所以在2,3上的最小值为(2)由题意知,当时,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上
4、的V型线,且射线的斜率均为.当,即时,易知在1,6上的最小值为当a1时,可知2a1a,可知,()当,得,即时,在1,6上的最小值为()当且时,即,在1,6上的最小值为 ()当时,因为,所以在1,6上的最小值为综上所述, 函数在1,6上的最小值为 南京三模)14.若不等式|1对任意都成立,则实数取值范围是 解答:显然时,有。令当时,对任意,在上递减,此时,|的最小值为0,不适合题意。当时,对任意,|的最小值为1,解得:。故所求6.已知函数其中e为自然对数的底.(1)当时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若函数y=f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围;(3)当b0时,判断函数
5、y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及 相应实数b的取值范围.解:(1)记g(x)exbx当b1时,g(x)ex1当x0时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上为增函数又g(0)10,所以当x(0,)时,g(x)0所以当x(0,)时,f(x)g(x)g(x),所以f(1)g(1)e1所以曲线yf(x)在点(1,e1)处的切线方程为:y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x 4分(没有说明“在x1附近,f(x)exbx”的扣1分)(2)解法一 f(x)0同解于g(x)0,因此,只需g(x)0有且只有一个解即方程exbx0有且只有一个解 因为x0不满足方程,所以方程同
6、解于b 6分令h(x),由h(x)0得x1当x(1,)时,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)(e,);当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递减,h(x)(e,);所以当x(0,)时,方程b有且只有一解等价于be 8分当x(,0)时,h(x)单调递减,且h(x)(,0),从而方程b有且只有一解等价于b(,0) 综上所述,b的取值范围为(,0)e 10分解法二 f(x)0同解于g(x)0,因此,只需g(x)0有且只有一个解即方程exbx0有且只有一个解,即exbx有且只有一解也即曲线yex与直线ybx有且只有一个公共点 6分1xyO1yexybx(图1)1xyO1yexybx(图2)如图
7、1,当b0时,直线ybx与yex总是有且只有一个公共点,满足要求 8分如图2,当b0时,直线ybx与yex有且只有一个公共点,当且仅当直线ybx与曲线yex相切设切点为(x0,e),根据曲线yex在xx0处的切线方程为:yee(xx0)把原点(0,0)代入得x01,所以bee 综上所述,b的取值范围为(,0)e 10分(3)由g(x)exb0,得xlnb当x(,lnb)时,g(x)0,g(x)单调递减当x(lnb,)时,g(x)0,g(x)单调递增所以在xlnb时,g(x)取极小值g(lnb)bblnbb(1lnb)当0be时, g(lnb)bblnbb(1lnb)0,从而当xR时,g(x)0
8、所以f(x)g(x)g(x)在(,)上无极大值因此,在x(0,2)上也无极大值 12分当be时,g(lnb)0因为g(0)10,g(2lnb)b22blnbb(b2lnb)0,(令k(x)x2lnx由k(x)10得x2,从而当x(2,)时,k(x)单调递增,又k(e)e20,所以当be时,b2lnb0)所以存在x1(0,lnb),x2(lnb,2lnb),使得g(x1)g(x2)0 此时f(x)g(x)所以f(x)在(,x1)单调递减,在(x1,lnb)上单调递增,在(lnb,x2)单调递减,在(x2,)上单调递增 14分所以在xlnb时,f(x)有极大值因为x(0,2)所以,当lnb2,即e
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