四年级奥数讲义76学子教案库07年春小4第3讲基础教师.doc

第三讲 数阵图

内容概述

在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
　　那么，到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例题精讲

【例1】 把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

分析：同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了。

【例2】 将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析：因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为：[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。

剩下的六个数中，两两之和等于9，

【例3】 把1～5这五个数填入右图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析：法1：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

法2 : 只需将1、2、3、4填如空格，我们可以利用对称的思想。

【例4】 将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

分析：中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于　　[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=30)的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右下图的填法。

【例5】 把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

分析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例3是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和。本例是这两样什么都不知道，但由例1、例3的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝(15+重叠数)÷2。
　 因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5。
若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。填法见下图（1）；
若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。填法见下图（2）；
若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。填法见下图（3）。

由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。

【例6】 把1～6这六个数填入右图的○里，使每个圆圈上的四个数
之和都相等。

分析：为方便分析，我们不妨将两个重叠数记为a、b ，那么有（1+2+3+4+5+6）+a+b = 2倍的和 ，
即21+a+b=2倍和 ，所以a+b 必须为奇数 ，那么它们可能是：1+2、1+4、1+6、3+2、3+4、3+6、5+2、5+4、5+6 ，经检验可得如下答案：
（1） 每个圆周的四数之和=12

（2） 每个圆周的四数之和=13

（3） 每个圆周的四数之和=14

（4）每个圆周的四数之和=15

（5）每个圆周的四数之和=16

【例７】 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

分析：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。
（1）如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，容易发现，所填数不是1～6，不合题意。
（2）同理，三个重叠数也不能是3，4，5。
（3）经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法。

【例８】 将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之
和都等于18。

分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于18×4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到下左图所示的重叠数的两种填法：

“试填”的结果，只有上右图的填法符合题意。

【例９】 把1～7分别填入右图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

分析：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右图。

【例10】把0～9这10个数不重复地填入圆圈内，然后在每个小三角形内写上这个三角形3个顶点处填的数之和，最后再把9个小三角形内的数加起来，那么这个和的最小值是____．

分析：注意到正中央的圆圈中的数属于6个不同的三角形，因此被加了6次.而最大的三角形3个顶点处的数被加了1次，其余的数被加了3次．为了使总和尽量小，应该加的次数越多的圆圈中的数越小，所以和的最小值是0×6+(1+2+3+4+5+6)×3+(7+8+9)×l=87．

【例11】（奥林匹克初赛A卷）10个连续的自然数，9是其中第三大的数．把这10个数填到右图的十个方格中．每格填一个数，要求图中三个2 ×2的正方形中四数之和相等．那么，这个和数的最小值是 ．

分析：10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个自然数为2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11 。图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2＋3+…+11再加上两个重复的数，和被3整除．因为2+3+…+11=65．
要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这时和数是24．和数为24是可能的，如以下两图：

【例12】 将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个
数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。
因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。
中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到右下图的填法。可参考附2、附4解法。

附加题目

【附1】将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

分析：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得左下图的填法。

【附2】（第六届《小数报》数学竞赛决赛）如右图，“好、伙、伴、助、
手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字．已知3条直线上的3个
数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等．图中间的“好”代
表_____．

分析：三条线上的和相加等于两个圆圈上的和相加，再加上3个“好”．所以3个“好”就是每条线上的和．6个“好”就是两个圆圈上的和相加，7个“好”就是1＋2＋3+4+5+6+7，从而“好”==4.

【附3】（小学数学奥林匹克初赛C卷）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，分别填人图中的九个圆圈中，使其中一条边上的四个数之和与另一条边上的四个数之和的比值最大．那么这个比值是_____。

分析：应该把大数尽可能往一条边上填，小数尽可能往另一条边上填，先把9，8，7填在右面这条边上，1，2，3填在左面这条边上，再考虑两边的共用圆圈应选择4．5．6中的哪一个?比较一下：

所以比值最大是=2.8

【附4】（第七届“华杯赛”复赛）将1-9这九个数字填入图中的9个圈中，使每个三角形和直线上的三个数字之和相等(写出一个答案即可)．

分析：仿例14思想可得答案：

【附５】（仁华学校2000～2001学年度入学考试四年级试题）如右图，可以从2、3、5、7、ll、13、17、19中选出适当的数填入图2和图3中，要求同一个图中不能填相同的数，并使图2中每条直线上的3个数之和是23，图3中每条直线上的3个数之和是43．那么图2中间圆圈填的数与图3中间圆圈填的数之和是_____ ．

分析：图3中每条直线上的3个数之和是43，那么图3中5个数的和再加上1个中间数就等于43×2=86，而最大的5个数加起来等于19+17+13+11+7=67，比86小19，所以图3的中间圆圈只能填19，此时另外4个圆圈里可以填成7+17=11+13．
再看图2，每条直线上的3个数之和是23，那么这5个数的和再加上1个中间数就等于23×2=46，如果中间圆圈填2，那么另外4个数的和就是46—2×2=42，可以是3+7+13+19，但这4个数中的任意两个数和都不等于42÷2=21；如果中间圆圈填3，那么另外4个数的和就是46-3×2=40，可以是5+7+11+17，但任意两数的和都不等于40÷2=20；如果中间圆圈填5或者更大的数，可以找到当中间数填7的话，另外4个数可以填5+11=3+13。所以中间两个圆圈中填的数之和为19+7=26。

【附６】 （第六届“华杯赛”口试）你能在3×3的方格表中每个格子里
都填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗?
若能，请填出一例，若不能，请说明理由．

分析：如右下图，我们取4条虚线所在的和，则有：4×1997=3×1997+3×重叠数，所以，重叠数应是，但其不是整数，所以不能填入九个自然数满足要求．

习题三

1. 如图（１），将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
解答：

2.　如图（２），将1～9这九个数分别填入图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
解答：

3.　如图（３），将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)
解答：

4.　如图（４），将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
解答：

５. 把1～8这八个数字分别填入右图中的圆圈内，使每个圆圈上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.
解答：

　　数学童话

　　　　　　　　　　　　　　　米老鼠和唐老鸭的争论

米老鼠和和唐老鸭在森林里伐木。它俩干完活正准备吃饭，迎面走来一个猎人，对他们打招呼说：“你们好啊!我在森林里迷了路，离村庄又远，饿得心慌，请分给我一些吃的吧!”“行啊，行啊，你坐下吧!唐老鸭有5张饼，我有7张饼，咱们在一起凑合着吃吧。”米老鼠热情地说。于是，他们三个平均分吃了12张饼。吃过饭，猎人摸出12个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这些钱了，你们俩商量着分吧!”
猎人走后，他们开始争论起来。唐老鸭说：“我看这钱应该平分!”米老鼠不同意，他反驳说：“12张饼的钱是12个戈比，正好是1张饼1个戈比，你应得5个，我应得7个!”
他俩的算法，谁的对呢?这笔账究竟该怎么算呢?