江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第四次联考数学（理）试题.doc

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考
数学试卷（理）命题人：吴建民 审题人: 梁伟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 （ ）
A． B。 C。 D。
2．函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 ( )
A． B． C． D．
3．已知直线和平面，，，，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是 ( )
A．相交或平行 B。相交或异面 C。平行或异面 D。相交﹑平行或异面
4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形的 （ ）
A．AB边中线的中点 B。AB边中线的三等分点（非重心） C．重心 D。AB边的中点
5．下列各命题中正确的命题是 （ ）
①命题“或”为真命题，则命题“”和命题 “”均为真命题；
② 命题“”的否定是“”；
③“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④
6．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
A． B 。 C。 D。
7．已知函数，
，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（ ）
A． B。
C． D。
8．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有，
③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
9．已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，

记表示第行的第个数，则（ ）
A． B。 C。 D。
10．取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为。 以上结论正确的是 ( )
A．①②⑤ B．①②③
C．②④⑤ D．②③④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则________________
12．某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为
13．设是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则公比等于 ____________________。
14．底面边长为、侧棱长为的正四棱柱的个顶点都在球的表面上，是侧棱的中点，是正方形的中心，则直线被球所截得的线段长为 ．
15．已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为 __________。
三、解答题：共6小题，共75分。
16. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

17. （本小题满分12分）
已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量, ,
（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.

18. （本小题满分12分）已知 且；
：集合，且．
若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

B
A
D
C
G
E
19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

20、（本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的其中 ，则称数列为“Z数列”。
（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；
（II）若数列是“Z数列”，
（III）若数列是“Z数列”，设求证

21、 （本小题满分14分） 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（理）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

D

A

D

B

A

D

B

B

A

A
10.解析　由题意可知，正方体的12条棱的中点均为此多面体的顶点，故共有12个顶点，而正方体的每个面上的四条棱的中点连成的小正方形的四条边均是此多面体的棱，故共有24条棱，作图易知共有14个面，表面积为(3＋)a2，体积为a3－8×××3＝a3.
答案　A
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.--------------------2n-3------------------- ;

12.------7 -------------------------------;
解析 本题主要考查程序框图计算问题.
当；
；
；
；
；
；
；所以最后输出值为7
13.--------------------------1/3---------------------;

14.---------------------------------------------;
15.--------------------------------------------。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）

∴函数的最小正周期． …………………6分
（Ⅱ）∵，，
∴ …………………9分
∴
∴ 在区间上的最大值为，最小值为0． ……………12分
17. （本小题满分12分）
已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量, ,
（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.
证明：(Ⅰ) ∵∥， ∴，由正弦定理可知，
，其中R是外接圆的半径，
∴.
因此，为等腰三角形. …………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，即
由余弦定理可知，即
，(舍去)
∴. …………………12分

18．（本小题满分12分）已知 且；
：集合，且．
若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.
解答：若成立，则，
即当时是真命题； ……………………4分
若，则方程有实数根，
由，解得，或，
即当，或时是真命题； ……………………8分
由于∨为真命题，∧为假命题，∴与一真一假，
故知所求的取值范围是． ……………………12分
B
A
D
C
G
E

19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．
解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，
B
A
D
C
G
F
E

，，，
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：
设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，
显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD； ……………………4分
（2）设平面BCE的法向量为，
则，且，
由，，
∴，不妨设，则，即，
∴所求角满足，∴； ……………………8分
（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，
由（2）平面BCE的法向量为，
∴所求距离． ……………………12分
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则，∴， …………………2分
∴四边形ABFH是平行四边形，∴，
由平面ACD内，平面ACD，平面ACD； ……………4分
（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，
B
A
D
C
G
E
设所求的二面角的大小为，则， ……………………6分
易求得BC=BE，CE，
∴，
而，
∴，而，
∴； ………………8分
（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，
由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD ，
又，∴平面ABED，
设G点到平面BCE的距离为，则即，
由，，，
∴即为点G到平面BCE的距离．………………12分
20、（本小题满分13分）若由数列生成的数列满足对任意的其中 ，则称数列为“Z数列”。
（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；
（II）若数列是“Z数列”，
（III）若数列是“Z数列”，设求证
解：（I）因为
所以 ………………2分
所以
所以是“Z数列”。 ………………4分
（II）因为

， ………………6分
所以，
又 ………………8分
（III）因为，

………………10分
又，
所以 ………………12分
所以 ………………13分
21. （本小题满分14分） 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
解.（1） 图象与轴异于原点的交点，
图象与轴的交点，
由题意可得，即， ……………………2分
∴， …………………3分
（2）=…4分
令，在 时，，
∴在单调递增， ………………5分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时， 　………………6分
②当即时， ……………7分
③当即时，
…………………8分
,
所以在区间上单调递增 　　………………………9分
∴时，
①当时，有，
，
得，同理，　　…………………１０分
∴ 由的单调性知 、
从而有，符合题设. ………………11分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符 ……………12分
③当时，同理可得，
得，与题设不符. ……………………13分
∴综合①、②、③得 ……………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.