广东省六校教研协作体2013届高三上学期联考数学（理）试题.doc

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广东省“六校教研协作体”2013届高三联考
理科数学试题
参考学校：阳春一中 肇庆一中 真光中学 深圳二高 珠海二中
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，若={2，3}，则实数p的值为 ( )
A．—4 B．4 C．—6 D．6
2．1．复数的虚部为 ( )
A． B．4 C．4i D．

3．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中
标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A．4 cm3 B．5 cm3 C．6 cm3 D．7 cm3

4．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻 两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
6．如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知正项数列中，，， ，则等于（ ）
A．16 B．8 C． D．4
8、函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①； ②；
③； ④
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题
9、二项式展开式的常数项为
10. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
11．设满足约束条件,则的最大值是 .
12．若双曲线的离心率小于，则的取值范围是
13.已知函数对任意的都存在,使得则实数的取值范围是

（二）选做题：考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14、（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为则圆C截直线l所得的弦长为 ．
·
P
C
B
A
D
E
O
15．（几何证明选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆，弦于点，已知圆的半径为，，则______
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知的内角、、的对边分别为、、，，且
（1）求角；
（2）若向量与共线，求、的值．
17、（本小题满分12分）
近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨。
（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望。

18、（本小题满分14分）
在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角的大小为．

19、（本小题满分14分）
已知数列满足，（）．．
（1）判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项；．
（2）如果时，数列的前项和为，试求出．

20．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
（１）求椭圆的方程；
（２）已知动直线与椭圆相交于、两点.
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：为定值.

．(本小题满分分)
已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.

2013届高三联考理科数学试题答案
一、选择题：
1． B． 2．A． 3． A． 4．B． 5.C 6． B． 7．D． 8、C
二、填空题
9、 10. 11、0 12．
14、 15． 4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.解：……1分
……2分
即……3分
，解得……5分
（2）共线，。
由正弦定理，得，①……8分
，由余弦定理，得，②……9分
联立方程①②，得……12分
17、解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是，…………2分
故至少有1天需要人工降雨的概率是 …………4分
（2）x的取值是0,1,2,3,4,5，由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
…………5分
…………6分
2天不需要人工降雨的概率是：
…………7分
1天不需要人工降雨的概率是： …………8分
0天不需要人工降雨的概率是： …………9分
不需要人工降雨的天数x分布列是 …………10分
x
0
1
2
3
4
5
P

不需要人工降雨的天数x的期望是：
…………12分
18、证：（Ⅰ）平面底面，，所以平面，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系．…………2分
则，，，．．
所以．…………3分
又由平面，可得，…………4分
且…………5分
所以平面． ………………………6分
（Ⅱ）平面的法向量为，…………8分
，所以，
设平面的法向量为，由，，
得，所以，…………10分
所以，…………12分
注意到，得 ………………………………14分

19、解：（1），…………1分
．…………2分
令，则，且．…………3分
∴当时，，则，数列不是等比数列．…………5分
当时，，则数列是等比数列，且公比为2．…………6分
，即．…………7分
解得．……8分
（2）由（1）知，当时，，…………9分．…………10分
由错位相减法，设 ……①
则 …………②
②-①得

…………12分
， …………13分

∴．…………14分

20．解：（1）因为满足， ……2分
，解得，则椭圆方程为……4分
（2）①将代入中得……6分
， ……7分
因为中点的横坐标为，所以，解得 …………9分
②由（1）知，
所以 …………11分
…12分
…14分

．解:(1) …………1分
时,取得极值,
…………2分
故解得经检验符合题意. …………3分
（2）由知
由,得
令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. …………4分
…………5分
当时,,于是在上单调递增;
当时,,于是在上单调递减.…………7分
依题意有, …………分
解得, …………9分
(3) 的定义域为,由(1)知,
令得,或(舍去),
当时, ,单调递增;
当时, ,单调递减.
为在上的最大值.
,故(当且仅当时,等号成立)…………11分
对任意正整数,取得, …………12分
.
故. …………14分

·9·