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第五章 随机优势
Stochastic Dominance
本章主要参考文献: 174, 135, 93 Bawa, S D a research bibliography, M S , 1982, 698-712

§5.1 Markowitz 模型
记： : 投资于i种股票的资金份额,
: 投资于i种股票的每元资金的回收率;
若 = 1
则 (, ,…，)称为有价证券混合(portfolio mixes).显见总收益 Y 为：
Y =
由于Ri是随机变量，故Y也是随机变量.设Y的分布为F(y)，概率密度函数为f(y),则有价证券的Markowitz模型为：
MAX{E(Y) = E()} (1)
s. t. (2)
= 1 (3)
Markowitz模型的含义：对给定的风险水平V,即(2)式，选择有价证券混合，使之有最大的期望收益。该模型的解称为有效EV有价证券混合.

§5.2 优势原则(Dominance Principle)
一、最简单的优势原则：(强随机优势)
1.按状态优于：
定义：l(θ, ) ≤ l(θ, ) θ∈Θ, 且至少对某一个θ，严格的不等式成立， 则称按状态优于.
例，损失矩阵如下， 按状态优于

4
7
2

6
6
8

3
4
7
同样，可以称 较之 处于优势(具有随机优势)或称 处于被支配地位
2.E—V排序
定义： 设随机事件的收益的两种概率分布F，G，F的均值不少于G，方差不大于G，
即E(F)≥E(G)，V(F)≤V(G)且至少有一严格不等式成立，则称F按E—V准则较G有优势，
此原则合理，但条件太强。
3. Markowitz模型
方差给定(相同)，均值大者为优。

二、 为什么要研究优势原则

后果及其概率可以用抽奖来表示
为了定量计算，要根据决策人的价值判断(公理，条件)来确定实值效用u.
例

·由于决策人的认识偏差及量化误差，确定唯一的较准确的效用存在较大困难。
但是，如果存在某种效用函数的类(符合条件C)，u∈均有f(记作 f)则可避免确定唯一的效用函数的困难。
·作用：①删除非优势(被支配)行动，缩减有效行动集，
②更深入了解决策问题的特点

三、优势原则的一般表示
设决策人希望期望效用极大, 采用 时收益y的效用为u(y), y的分布为(y), 则采取行动(方案) 的期望效用
u()=(y) (y)dy
若 优于 则需 (y)比(y) 占优势：
即 (y) (y)dy≥(y) (y)dy (4)
采用优势原则的目的是由于u(y)设定存在困难希望，通过对u(y)作某种总体要求(例如单增)使 (y)和(y)在满足一定条件时，(4)式成立。
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§5.3 一、二、三等随机优势
一、第一等随机优势FSD (First-Degree S D)
1.第一类效用函数U (单增有界)
记u的定义域I为［a,b］,(a,b)记作I
= {u|u和u’ 在I上连续有界，在I上u’≥0}
2.第一等随机优势定义：
当u∈,且对I上所有y有 F(y) ≥F(y)，则称行动 比起 具有第一等随机优势,记作 .
3.例：

1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
x
1
4
1
4
4
4
y
3
4
3
1
1
4

由E—V排序E(x)=3,E(y)=8/3;v(x)=2,v(y)=14/9;无法判定优劣.由第一等随机优势可知
xy
4.Note：
·在实际使用时，只要描出F(y)与F(y) ，若F(y) 在F(y)的左侧，则F(y) F(y),可删掉F;
·若二条曲线有效叉点，第一等随机优势无法判定优劣。
·F(y) 对F(y)没有优势时无法判定F(y)对F(y)有优势, 只能说这种类型的优势原则无法判别与的优劣.

二、第二等随机优势SSD
1.第二类效用函数：(递增，凹)
U= { u| u∈,u’’ 在I上连续有界，在I上u”≥0}
2.第二等随机优势定义：
当 u∈U，且对I上所有z
[ F(y) - F(y)]dy ≥ 0
则称方案j较i具有第二等随机优势，记作 :
3. 例(5.2例P75)

1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
x
1
1
4
4
4
4
y
0
2
3
3
4
4

由第一等随机优势无法判别
根据第二等随机优势，可知X Y
∵对任意y F(Y)-F(X)≥0
4.Note.
·作图：①开始上升较早(快)的不可能占优势
②交点后F(X)增加的面积(阴影B)应小于等于交点
前比F(Y)小的面积。则F(X)〉2F(Y)
·主要问题：对概率分布函数的“左侧尾部”敏感性

三、第三等随机优势TSD
1.第三类效用函数 (正三阶导数)
={ u | u∈ , u”’ 在I上连续，在I 上u’”>0}
由于u”’(x)>0 不易判别, 而子类：递减的厌恶风险的效用函数易于判别.
={ u | u∈ , r’在I上是连续，有界，非正的}
2.第三等随机优势定义：
当u(y)∈ 如对I上所有z有E[F(y)]≥E[F(y)],
且 F(y)- F(y)]dydz≥0, 则方案j比i有第三等随机优势
3. 例：(P76例5.3) 1/4

1/4
1/4
1/4
1/4
X
13
11
11
11
Y
10
12
12
12

如图，由于F(y) 上升较早，由第二等SD， Y 不可能是优势方案，在(11.5，13)区间， F(y)-F(x)≤0,故用SSD无法判别谁有优势.
据TSD:①E[X]=E[Y]
②F(Y)-F(X)]≥0
所以X较之Y有第三等随机优势.
4.Note
·FSD、SSD、TSD是逐次对 与 之差进行积分，积分差在I上非负j比i占优势
FSD的判别：-]≥0 ,即[ F(y) - F(y)] dy ≥ 0
SSD的判别：D(z) =[ F(y) - F(y)]dy ≥ 0
TSD的判别： D(z’)=dz≥ 0
·性质：i, 非对称性
ii, 传递性
iii, TSDÞSDÞFSD
Ì Ì Ì

四、N等随机优势
从理论上，可以通过对分布函数之差的多重积分来研究更高等级的随机优势，Tehranian(1980)就这样做过。然而很难把N〉3等随机优势所要求的U(y)中所蕴含的风险态度的假设表达清楚。计算的复杂性也是不言而喻的。
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