复变函数5章：留数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第五章:留 数,卢 金 梅,1/74,第五章：留数定理,本章中心内容是留数定理，它是留数理论基础。,利用留数定理能够将计算沿闭曲线积分转化为计算在孤立奇点处留数。应用留数定理还能够计算一些定积分和广义积分，其中有些积分计算时比较复杂，用留数定理能够在分类后统一处理。,所以留数定理在理论探讨与实际应用中都有主要意义,主要内容：,5.1 孤立奇点,5.2 留 数,5.3 留数在定积分计算上应用,2/74,5.1 孤 立 奇 点,主要内容：,一 孤立奇点概念,二 孤立奇点分类,三 函数在无穷远点性态,要求,了解孤立奇点概念，会判定孤立奇点类型,3/74,5.1 孤 立 奇 点,一 孤立奇点概念,【定义】假如函数,f,(,z,),在,z,0,处不解析，但在,z,0,某一去心领域 0|,z,-,z,0,|,内处处解析，那么,z,0,称为,f,(,z,)孤立奇点,比如，,z,=0是函数 孤立奇点；,z,=-1是函数 孤立奇点,【注】不能认为全部奇点都是孤立奇点,比如，,f,(,z,)=ln,z,奇点都不是孤立奇点,对函数,z,=0是,f,(,z,)奇点但不是孤立奇点,4/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,依据函数在孤立奇点,z,0,去心领域0|,z,-,z,0,|,洛朗展开式情况，将孤立奇点分为下面三类：,(1)可去奇点；(2)极点；(3)本性奇点,1.可去奇点,【定义】假如洛朗级数中不含有,z,-,z,0,负幂项，即,则称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,)可去奇点,【注】令,f,(,z,0,),=c,0,，则,f,(,z,)在,z,0,处解析,5/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,依据函数在孤立奇点,z,0,去心领域0|,z,-,z,0,|,洛朗展开式情况，将孤立奇点分为下面三类：,(1)可去奇点；(2)极点；(3)本性奇点,1.可去奇点,【定义】假如洛朗级数中不含有,z,-,z,0,负幂项，即,则称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,)可去奇点,【可去奇点性质】假如,z,0,为,f,(,z,)极点，则,6/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,1.可去奇点,【例】说明,z,=0是函数 可去奇点,解：,显然，,z,=0是函数,可去奇点,7/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,1.可去奇点,【例】说明,z,=0是函数 可去奇点,解：,显然，,z,=0是函数,可去奇点,8/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,2.极 点,【定义】假如洛朗级数中有有限多个,z,-,z,0,负幂项，且其中关于(,z,-,z,0,),-1,最高次幂为(,z,-,z,0,),-m,，即,或写作,其中，,g,(,z,)在|,z,-,z,0,|,内解析，且,g,(,z,0,),0,则称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,),m,级极点,9/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,2.极 点,【定义】假如洛朗级数中有有限多个,z,-,z,0,负幂项，且其中关于(,z,-,z,0,),-1,最高次幂为(,z,-,z,0,),-m,，即,其中，,g,(,z,)在|,z,-,z,0,|,内解析，且,g,(,z,0,),0,则称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,),m,级极点,【极点性质】假如,z,0,为,f,(,z,)极点，则,或写作,10/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,2.极 点,【例】求以下函数奇点，假如是极点，指出级数,解：(1),z,=0,-2为函数,f,(,z,)孤立奇点,因为,而 在,z,=0处解析，且不等于0，所以,z,=0为二级极点,11/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,2.极 点,【例】求以下函数奇点，假如是极点，指出级数,解：(1),z,=0,-2为函数,f,(,z,)孤立奇点,同理,而 在,z,=-2处解析，且不等于0，,z,=-2为一级极点,12/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,2.极 点,【例】求以下函数奇点，假如是极点，指出级数,解：(2)因为,所以，,z,=-1为一级极点；,z,=1为二级极点；,13/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,3.本 性 奇 点,【定义】假如洛朗级数中有没有穷多个,z,-,z,0,负幂项，即,则称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,)本性奇点,比如，,z,=0为函数 本性奇点，因为,【本性奇点性质】,假如,z,0,为,f,(,z,)本性奇点，则 不存在且不为,14/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,【孤立奇点类型判定定理】设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点，,(1)假如 c为常数，则,z,0,为,f,(,z,)可去奇点,(2)假如 则,z,0,为,f,(,z,)极点,(3)假如 不存在且不为,，则,z,0,为,f,(,z,)本性奇点,【例】利用上述方法判定,z,=0为函数 本性奇点,解：任取常数,i,取数列,则 所以,z,=0为本性奇点,15/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【定义】不恒等于0解析函数,f,(,z,)假如能表示成,其中，,(,z,)在,z,0,处,解析，且,(,z,0,),0,m,为某一正整数，,则称,z,0,为,f,(,z,),m,级零点,比如，,z,=0为函数,z,(,z,-2),2,一级零点；,z,=2为函数,z,(,z,-2),2,二级零点,【注】不恒等于0解析函数,f,(,z,),零点是孤立,16/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【推论】假如,函数,f,(,z,)在,z,0,处,解析，则,z,0,为,f,(,z,),m,级零点,充要条件为,【证】因,(,z,)在,z,0,处,解析，所以,(,z,)能够在,z,0,进行泰勒展开,设,其中,则,f,(,z,)在,z,0,处泰勒展开为,17/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【推论】假如,函数,f,(,z,)在,z,0,处,解析，则,z,0,为,f,(,z,),m,级零点,充要条件为,【证】,从上式可看出，,f,(,z,)在,z,0,处泰勒展开前,m,-1项系数为0，,而第,m,项系数不为0，即,18/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【定理】假如,z,0,是,函数,f,(,z,),m,级极点,，则,z,0,为,m,级零点，反之亦成立,【证】假如,z,0,是,函数,f,(,z,),m,级极点，则,其中，,g,(,z,)在,z,0,处,解析，且,g,(,z,0,),0，,从而当,z,z,0,时，,19/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【定理】假如,z,0,是,函数,f,(,z,),m,级极点,，则,z,0,为,m,级零点，反之亦成立,【证】,函数,h,(,z,)在,z,0,处解析，且,h,(,z,0,),0,因为 令,则,z,0,为,m,级零点.,20/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【例】函数 有些什么奇点，若是极点，求它级数,解：令sin,z,=0，求得函数孤立奇点为,而,所以孤立奇点 均为sin,z,一级零点,从而为函数 1/sin,z,一级极点,=,21/74,5.1 孤 立 奇 点,二 孤立奇点分类,4.零点与极点关系,【例】问,z,=0是函数 二级极点吗？,解：,所以，,z,=0是函数一级极点,思索：,z,=0是函数 三级极点吗？,评注：不能以函数表面形式做结论,=,22/74,今 日 作 业,P183 1题：(1)(4)(6)(8),4题,注意 2题，5题，6题结果应用,23/74,5.1 孤 立 奇 点,孤立奇点类型判别总结,极点其它判别法：,函数形式判别法；极点与零点关系,零点判别法：,函数形式判别法、导数判别法、,极点与零点关系,注意利用课后习题2、5、6结论,=,孤立奇点,洛朗级数特点,可去奇点,不含负幂项,存在,极点,含有限个负幂项,不存在且为,本性奇点,含无限个负幂项,不存在且不是,24/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,【定义】若函数,f,(,z,)在无穷远点,z,=,去心领域,R,|,z,|+,内解析，那么称点为,f,(,z,)孤立奇点,R,x,y,o,R,x,y,o,25/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,作变换 则,要求：,扩充,z,平面,扩充,t,平面,映射为,在,R,|,z,|+,内,对,f,(,z,),研究,在,0|,t,|1/,R,内,对,(,t,),研究,26/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,作变换 则,注意到,(,t,)在0|,t,|1/,R,内解析，所以,t,=0,是,(,t,)孤立奇点,要求：假如,t,=0,是,(,t,)可去奇点，,m,级极点或本性奇点,则称,z,=,是,f,(,z,)可去奇点，,m,级极点或本性奇点,27/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,作变换 则,注意到,(,t,),在,0|,t,|1/,R,内解析，所以,t,=0,是,(,t,)孤立奇点,【,z,=,类型判别】若,f,(,z,)在,R,|,z,|+,内洛朗展开式中,1)不含正幂项;,2)含有限多个正幂项，且,z,m,为最高幂项,3)含有没有穷多正幂项,则,是,f,(,z,),(1),可去奇点;(2),m,级极点;(3)本性奇点,28/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,【例】判断以下函数无穷远点,类型,z,=为函数可去奇点,z,=为函数一级极点,z,=为函数本性奇点,29/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,【,类型判别】假如,(1)存在且为有限值；,(2)无穷大,(3)不存在且为不是无穷大,则,z,=,是,f,(,z,)(1)可去奇点,(2),m,级极点,(3)本性奇点,30/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,【,例,】函数 在扩充复平面内有些什,么类型奇点？假如是极点，求级数,解：函数孤立奇点为,因为,故这些点是sin,z,一级零点，从而是(,sin,z,),3,三级零点,又因除去点+1,-1,2外，(,z,2,-1)(,z,-2)在其它点值都不是0,所以 是函数三级极点,下面判断+1,-1,2类型,31/74,5.1 孤 立 奇 点,三 函数在无穷远点性态,【,例,】函数 在扩充复平面内有些什,么类型奇点？假如是极点，求级数,解：函数孤立奇点为,1,-1,2是(,sin,z,),3,三级零点,因为+1,-1是(,z,2,-1)(,z,-2)一级零点，,所以+1,-1是,f,(,z,),二级极点，,对于点2，因为,所以2为可去奇点,32/74,5.1 留 数,主要内容：,一 留数定义及留数定理,二 留数计算规则,三 函数在无穷远点留数,要求,掌握留数定理，会利用留数定理求积分,33/74,5.2 留 数,一 留数定义及留数定理,【引】,设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点，,C,为,z,0,去心领域0|,z,-,z,0,|,内,围,绕,z,0,任意一条简单闭曲线,函数,f,(,z,)在0|,z,-,z,0,|,内洛朗展开式为,逐项求积分得,.,34/74,5.2 留 数,一 留数定义及留数定理,【引】,设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点，,C,为,z,0,去心领域0|,z,-,z,0,|,内,围,绕,z,0,任意一条简单闭曲线,即,f,(,z,),在,z,0,处留数,35/74,5.2 留 数,一 留数定义及留数定理,【定义】设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点，,f,(,z,)在,z,0,处留数定义,为,f,(,z,)在,z,0,去心领域0|,z,-,z,0,|,内洛朗展开式中负一次幂,系数,c,-1,，记作Res,f,(,z,),z,0,且,其中,C,为,0|,z,-,z,0,|,内,围绕,z,0,任意一条简单闭曲线,【推论】,设,z,0,为,f,(,z,),孤立奇点，,C,为,0|,z,-,z,0,|,内,围绕,z,0,任意一条简单闭曲线，则,.,36/74,5.2 留 数,一 留数定义及留数定理,【留数定理】设函数,f,(,z,)在区域,D,内除有限个,孤立奇点,z,1,z,2,z,n,外处处解析，,C,为,D,内包围诸奇点一条简,单闭曲线，那么,证实：依据复合闭路定理，,依据留数定义,37/74,5.2 留 数,一 留数定义及留数定理,【留数定理】设函数,f,(,z,)在区域,D,内除有限个,孤立奇点,z,1,z,2,z,n,外处处解析，,C,为,D,内包围诸奇点一条简,单闭曲线，那么,【推论】若函数,f,(,z,)在简单闭曲线,C,内部只有有限个孤立奇点，在,C,及其内部其它点处解析，则留数定理仍成立,【注】利用留数定理，,f,(,z,)沿封闭曲线,C,积分，转化为计算,f,(,z,)在,C,内部各孤立奇点处留数,38/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,(1)若,z,0,为,f,(,z,),可去奇点，则Res,f,(,z,),z,0,=0;,(2)若,z,0,为,f,(,z,),本性奇点，则需将,f,(,z,)展成洛朗级数求,c,-1,(3),若,z,0,为,f,(,z,),极点，则能够按以下规则求Res,f,(,z,),z,0,【规则,】假如,z,0,为,f,(,z,),一级极点，则,【规则,】假如,z,0,为,f,(,z,),m,级极点，则,【推论】假如,z,0,为,f,(,z,),n,级极点，,n,m,则结论仍成立,39/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【规则,】设,P,(,z,),Q,(,z,),在,z,0,处都解析，假如,P,(,z,0,),0,Q,(,z,0,)=,0,Q,(,z,0,),0,那么,z,0,为,f,(,z,),一级极点，而,证实：因为,Q,(,z,0,)=,0,Q,(,z,0,),0,所以,z,0,为,Q,(,z,),一级零点，,从而,z,0,为1,/,Q,(,z,),一级极点,从而,(,z,)在,z,0,处,解析，且,(,z,0,),0,由此得,40/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【规则,】设,P,(,z,),Q,(,z,),在,z,0,处都解析，假如,P,(,z,0,),0,Q,(,z,0,)=,0,Q,(,z,0,),0,那么,z,0,为,f,(,z,),一级极点，而,证实：,P,(,z,),(,z,),z,0,处,解析，且,P,(,z,0,),(,z,0,),0,所以,z,0,为,f,(,z,),一级极点,由规则,41/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【例1】求 在,z,=0处留数,解：,z,=0是函数,f,(,z,),n,级极点,所以,【例2】求 在,z,=0处留数,析：,z,=0为,P,(,z,),一级零点，所认为,f,(,z,)三级极点，按规则,42/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【例2】求 在,z,=0处留数,解1：,z,=0为,P,(,z,),一级零点，所认为,f,(,z,)三级极点，按规则,解2：,43/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【例3】求 在,z,=0处留数,解：,z,=0是,f,(,z,)四级极点，在区域0|,z,|+,内,将,f,(,z,)展开,成洛朗级数,44/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【例3】计算积分,C,为正向圆周|,z,|=2,解：,z,=0是一级极点，,z,=1是二级极点，,45/74,5.2 留 数,二 留数计算规则,【例4】计算积分,C,为正向圆周|,z,|=2,解：函数 只有四个孤立奇点+,i,-,i,+1,-1，且都在,|,z,|=2内，由规则，,依据留数定理，,46/74,5.2 留 数,三 在无穷远点留数,【定义】函数,f,(,z,),在无穷远点留数定义为它在,去心领,域,R,|,z,|+内洛朗展开式中,z,-1,系数变号，即,其中，,C,为圆环域,R,|,z,|+,内围绕原点任一条正向简单闭曲线,47/74,5.2 留 数,三 在无穷远点留数,【定理二】假如函数,f,(,z,)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么,f,(,z,)在全部奇点(包含,点)留数总和等于零,证：除外，设,f,(,z,)有限个孤立奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,),设,C,为一条围绕原点且将,z,k,包含在内正向简单闭曲线，,依据在无穷远点留数定义和留数定理,.,.,.,.,.,.,.,48/74,5.2 留 数,三 在无穷远点留数,规则：,定理二和规则,提供了函数沿闭曲线积分另一个方法,【例】计算积分,C,为正向圆周|,z,|=2,解：被积函数孤立奇点为,，-,i,1,3,由定理二,因为-,i,1在,C,内部,49/74,5.2 留 数,三 在无穷远点留数,【例】计算积分,C,为正向圆周|,z,|=2,解：被积函数孤立奇点为,，-,i,1,3,由定理二,因为-,i,1在,C,内部，依据留数定理,50/74,5.2 留 数,思索与小结,小结：,思索：留数定理与柯西积分公式及高阶导数公式关系；,今日作业：,P184 8题 (1)(2)(4)9题 (1)(2)(3)(5),51/74,5.2 留 数,内容回顾,一、留数定义及留数定理,定理一(Cauchy Residue Theorem)：,（计算函数沿闭曲线积分）,二、留数计算规则：,(1)可去奇点：留数为0,(2)本性奇点；利用洛朗展开式,(3),m,级极点：利用洛朗展开式及规则、,三、函数在无穷远点留数,定理二：（和留数定理结累计算积分）,52/74,5.3 留数在定积分计算上应用,依据留数定理，用留数来计算定积分，是计算定积分一个有效办法，尤其是当被积函数原函数不轻易求得时更显得有用,思想方法：,将定积分化为复变函数沿封闭曲线积分,两个主要工作：,(2)被积函数转化；(1)积分区域转化,53/74,5.3 留数在定积分计算上应用,主要内容,一、形如 积分,二、形如 积分,三、形如 积分,要求：,了解用留数计算积分思想，掌握上述积分方法,54/74,5.3 留数在定积分计算上应用,一、形如 积分,其中,R,(cos,sin,)为关于,cos,sin,有理函数,方法：令 则,当,历经0,2时，,z,沿单位圆|,z,|=1正方向绕行一周,z,x,y,o,55/74,5.3 留数在定积分计算上应用,一、形如 积分,其中,R,(cos,sin,)为关于,cos,sin,有理函数,方法：令 则,其中，,z,k,是,|,z,|=1内,f,(,z,)孤立奇点,是,z,有理函数在|,z,|=1,上无奇点,是,|,z,|=1内,f,(,z,),孤立奇点,56/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例1】计算,解：因为,0,p,0,故积分有意义,令 则,57/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例1】计算,解：,被积函数有三个极点0，1/,p,p,，,只有2级极点0和1级极点,p,在,|,z,|=1,内，在,|,z,|=1,上无奇点，而,58/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例1】计算,解：,被积函数有三个极点0，1/,p,p,，,只有2级极点0和1级极点,p,在,|,z,|=1,内，在,|,z,|=1,上无奇点，而,所以，,59/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,结构闭曲线,C,如图所表示，取,R,足够,大使得,R,(,z,),全部位于上半平面,极点,z,k,都包含在此积分路径,C,内,.,.,.,x,y,o,60/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,依据留数定理，,R,(,z,),沿,C,正向积分,注意到当,R,+时，上述积分值不变,x,y,o,.,.,.,61/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,即,因为,62/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,即,当|,z,|=,R,充分大时，,可使得,63/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,即,当|,z,|=,R,充分大时，,从而,64/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,析：当 存在时，,方法：设,即,当|,z,|=,R,充分大时，,从而,65/74,5.3 留数在定积分计算上应用,二、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高两次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,积分结果：,其中，,z,k,是,R,(,z,),位于上半平面孤立奇点,x,y,o,.,.,.,66/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例2】计算,解：函数 在实轴上没有奇点，,在上半平面内有两个一级极点：,ai,bi,依据规则1，,同理，,所以，,67/74,5.3 留数在定积分计算上应用,三、形如 积分,R,(,x,)为,x,有理函数,分母次数比分子次数最少高一次,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,积分结果：,其中，,z,k,是,R,(,z,),位于上半平面孤立奇点,x,y,o,.,.,.,68/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例3】计算,解：,令,其中 在实轴上无奇点，且在上半平面只,有二级极点,ai,所以，,69/74,5.3 留数在定积分计算上应用,【例3】计算,解：,所以，,从而，,所以，,70/74,人 物,19世纪数学最独特创造是复变函数理论创建，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数理论进行了系统研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立结论.黎曼首先总结前人关于单值解析函数结果，并用新工具给予处理，同时创建多值解析函数理论基础，并由此为几个不一样方向进展铺平了道路。,柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认复变函数主要奠基人，而且以后证实在处理复函数理论方法上黎曼方法是本质，柯西和黎曼思想被融合起来，维尔斯特拉斯思想能够从柯西黎曼观点推导出来。,71/74,人 物,黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,18261866),19世纪富有创造性德国数学家，数学物理学家,黎曼是世界数学史上最具独创精神,数学家之一。黎曼著作不多，但却异,常深刻，极富于对概念创造与想象。,黎曼在其短暂一生中为数学众多领,域作了许多奠基性、创造性工作，,为世界数学建立了丰功伟绩,72/74,人 物,黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,18261866),19世纪富有创造性德国数学家，数学物理学家,在黎曼对多值函数处理中，,最关键是他引入了被后人称,“黎曼面”概念。经过黎曼面,给多值函数以几何直观,将高斯在1825年关于平面到平面,保形映射结论推广到任意黎曼面上，并在文字结尾给出,著名黎曼映射定理,73/74,人 物,柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）巴黎,他在纯数学和应用数学功力是,相当深厚，在数学写作上，他,是被认为在数量上仅次于欧拉人，,他一生一共著作了789篇论文和几本书,用复变函数积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理出发点,74/74,