复变函数与积分变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,张,长,华,复变函数与积分变换,Complex Analysis and Integral Transform,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,整剪公布,1/47,第一章 复数与复变函数,1.1,复数及其运算,1.2,复平面上曲线和区域,1.3,复变函数,1.4,复变函数极限和连续性,2/47,1.1 复数及其运算,一、复数概念,1、产生背景,数称为复数，其中,称为虚单位，,2、定义：形如,为任意实数,且记,分别称为,实部与虚部。,3/47,二、复数表示法,1、(复平面上)点表示-用坐标平面上点,r,此时坐标面（称为复平面）与直角坐标平面区分与联络。,4/47,2、(复平面上)向量表示-,（1）模 长度 ，记为 ，则,（2）辐角()与 轴正向夹角 (周期性),5/47,辐角主值:,注,其中主值,确实定方法见教材,P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.,6/47,3、,三角（或极坐标）表示,-,由,得,欧拉公式,5、,代数表示-,7/47,复数各种表示可相互,转换在不一样运算中可,选择不一样表示式,进行运算。,N,S,P,y,z,Z,x,6*、复球面表示-,将扩充复平面中,全部复数唯一表示为一个点，则全部复数与复球面上点建立一一对应关系。,8/47,三、复数运算,1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。,2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式,3、共轭复数及运算性质,z,z,y,x,o,9/47,四、复数n次方根,n个值恰为以原点为中心，,内接正,边形顶点，当,时，,为半径,圆周,称为主值。,10/47,答疑解惑,答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序；而复数是无序，所以不能比较大小。,假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数特例），不妨取0和i加以讨论：,1、,复数能否比较大小，为何？,注：复数模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小,。,11/47,2、复数能够用向量表示，则复数运算与向量 运算是否相同？,答：,有相同之处，但也有不一样之处。,加减和数乘运算相同，乘积运算不一样，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算几何意义不一样。,12/47,经典例题,例1、判断以下命题是否正确？,（1）,（2）,（3）,（,）,（,）,（,）,13/47,例2、求以下复数模与辐角,（1）（2）,（3）（4）,14/47,解（1）,（2）,15/47,（3）,(4),16/47,例3、求满足以下条件复数z：,（1）,（3）,（2）且,17/47,18/47,19/47,例4 求方程,根。并将,分解因式。,解 ,，,则,其余三个根即为所求,得,由,20/47,21/47,1.2 复平面上曲线和区域,一、复平面上曲线方程,平面曲线有直角坐标方程,和参数方程,两种形式。,22/47,由,代入,知,曲线C方程可改写成复数形式,若令,，而,，则,曲线C参数方程等价于复数形式 。,23/47,二、简单曲线与光滑曲线,24/47,三、区域,1、去心邻域,3、区域及分类,2、内点与开集,区域连通开集。,25/47,属于D内任一条简单闭曲线，在D内能够经过连续变形而收缩成一点。,注：闭区域,，它不是区域。,任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交点集：有界区域称为 C内部；无界区域，称为 C外部；C，称为内部与外部边界。,（经典例题见教材,例1.2.1，例1.2.2）,26/47,1.3 复变函数,一、复变函数概念,1,、定义,对于集合G中给定,，总有一个（或几个）确定复数,与之对应，并称G为定义集合，而,称为函数值集合(值域).,分类,27/47,2、复变函数,与实函数关系,讨论一个复变函数,研究两个实二元函数,3、复变函数单值性讨论,28/47,教材,P,12,（例1.3.2),是否为单值函数,令,则,均为单值实二元函数,是单值函数。,故,29/47,教材,(例1.3.3）,是单值函数吗？,，均为多值实二元函数,方法二、见教材,30/47,二、映射,复变函数几何图形表示,31/47,函数,在几何上能够看着是把,z,平面上一个点集,G,（定义域）,变到,w,平面上一个点集,G,*,（值域）一个映射（或映照）。,与,G,中点为一一对应,映射为双射,32/47,典 型 例 题,例1、求,z,平面上以下图形在映射,下象。,33/47,解(1),乘法模与辐角定理,How complex the expression are!,34/47,u,v,4i,图a,虚轴上从点0到4,i,一段（见图a）。,(1)记 ，则,即,w,平面内,4,图b,（3）见教材,例1.3.4（3）,35/47,映为,（4）将直线,建立,所满足象曲线方程,，消 ，,是以原点为焦,点，开口向左抛物线（见图c1),v,u,图c,1,2,其是以原点为焦点，,开口向右抛物线（见图c2）。,将 线,映为,，消,x,得,36/47,例2、求以下曲线在映射,下象,解法一,（1）,消,x,y,建立,u,v,所满足象曲线方程或由两个实二元函数反解解得,x=x,(,u,v,),y=y,(,u,v,）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程,37/47,（2）,代入原象曲线方程，得,w,平面内一条直线。,38/47,解法二,代入原象方程得,化为实方程形式,（2）留作练习。,39/47,40/47,41/47,1.4 复变函数极限和连续性,42/47,43/47,44/47,45/47,本章难点与重点,46/47,注,：,分析中，习惯把变量之间对应关系称为函数；,几何中，习惯把变量之间对应关系称为映射；,代数中，习惯把变量之间对应关系称为变换。,在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间一个对应。,47/47,