云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何（28）.doc

331. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )
A.有且仅有一条直线与a、b都垂直
B.有一平面与a、b都垂直
C.过直线a有且仅有一平面与b平行
D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交
解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.

332. 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.
已知：α∩β＝a,α∩＝b, ∩α＝c.[来源:Zxxk.Com]
求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.

证明：①如图一，设a∩b＝A，
∵α∩β＝a.
∴aα而A∈a.
∴A∈α.[来源:Zxxk.Com]
又β∩＝b[来源:学|科|网]
∴b,而A∈b.
∴A∈.
则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.
从而a、b、c三线共点.
②如图二，若a∥b，显然c，b
∴ a∥
而 aα, α∩＝c.
∴ a∥c
从而 a∥b∥c
333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?

解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB＝a，MA∥NB，MA＝NB＝b,∠A＝∠B＝90°.
设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.
在平面MANB中，作TK∥AB，交MA于K，则AK＝ST.
设ST＝x，则x＝b-KM.又KT＝CT＝，∠KTC＝φ，有KC＝asin.
从而KM＝.
∴x＝b-.
334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：( )
A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直
D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直
解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.
说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.

335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ.
求证：cos2α+cos2β+cos2γ＝1

解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.
证明：设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为α、β、γ，连结AB1、CB1，D1B1，则ΔB1DA、ΔB1DC、ΔB1DD1都是直角三角形.
∵cosα＝,cosβ＝,cosγ＝
∴cos2α+cos2β+cos2γ＝＝1.
评析：这里运用了长方体对角线长定理.

336. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝AC＝10cm,BC＝12cm，顶点A1与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.

解析：如图，作A1O⊥平面ABC于O，∵A1A＝A1B＝A1C，∴OA＝OB＝OC，∴O是ΔABC的外心，∵ΔABC等腰，∴AO⊥BC于D，∴AA1⊥BC，∴B1B⊥BC，四边形B1BCC1为矩形，∴S＝12·13＝156(cm2),ΔA1AB底边上高A1E＝＝12，＝＝120(cm2),SΔABC＝＝·12·8＝48(cm2),S全＝156+2·120+2×48＝492(cm2)

337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱中每两条成60°角，求平行六面体积.

解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA1的长分别是a,b,c,且两面所成角是60°，过A1作A1H⊥平面ABCD，H为垂足，连HA，则∠HAB＝30°，由课本题得：
cos∠A1AB＝cos∠A1AH·cos∠HAB,
∴cos∠A1AH＝＝＝,sin∠A1AH＝[来源:Z。xx。k.Com]
∴V＝SABCD·A1H＝absin60°·c·sin∠A1AH＝abc.
338. 在棱长为a的正三棱柱ABC—A1B1C1中，O、O1分别为两底中心，P为OO1的中点，过P、B1、C1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积.

解析： 如图，∵AA1⊥面A1B1C1，AA1∥OO1，设过P、B1、C1的截面与AA1的延长线交于Q，连结A1O1延长交B1C1于D，连QD，则P必在QD上，∵O1为ΔA1B1C1的中心，P为OO1的中点，故＝＝，∴Q在A1A延长线上且QA＝PO1，又QB1交AB于E，QC1交AC于F，则EF∥B1C1，所以截面为EFB1C1是等腰梯形，又QA1∶QA＝3∶1，∴EF＝ 设QD与EF交于H，得QD⊥B1C1.因此HD为梯形EFC1B1的高.DQ＝＝a,∴HD＝a.＝(a+)·(a)＝a2为所求截面积.

339. 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点.
(1)求证：A1B⊥平面AB1D.
(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数.
[来源:Zxxk.Com]
解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.
解 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等，
∴侧面ABB1A1是正方形.[来源:Zxxk.Com]
∴A1B⊥AB1.连DE，
∵ΔBCD≌ΔA1C1D，
∴BD＝A1D，而E为A1B的中点，
A1B⊥DE.∴A1B⊥平面AB1D.
(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱.
∵DC∥A1A，且D为CC1的中点，∴AC＝CS.
又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1B⊥BS.
∴∠A1BA就是二面角A1—BS—A的平面角.
∵∠A1BA＝45°，
∴平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45°.
评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在论证AB⊥BS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S射＝S·cosθ来解θ.
340. 如图，已知正三棱柱A1B1C1—ABC的底面积等于cm2，D、E分别是侧棱B1B，C1C上的点，且有EC＝BC＝2DB，试求
(1)四棱锥A—BCDE的底面BCED的面积
(2)四棱锥A—BCED的体积
(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小
(4)截面ADE的面积

解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为α，观察到ΔADE在底面ABC的射影是ΔABC(∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC)应用SΔABC＝SΔADE·cosα，可求出α.
解：设ΔABC边长为x，∵SΔABC＝x2＝.∴x＝2，于是EC＝BC＝2，DB＝BC＝1，∴SBCED＝ (2+1)·2＝3，作AF⊥BC于F[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:Zxxk.Com]
∴AF⊥平面BCED，VA-BCED＝·AF·SBCED，∴VA-BCED＝··2·3＝
在RtΔABD中，AD2＝AB2+DB2＝22+12＝5；在Rt梯形BCED中，DE2＝(CE-DB)2+BC2＝5[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴AD＝DE＝，∴ΔADE是等腰三角形，作DQ⊥AE于Q，则Q为AE的中点
在RtΔACE中，AE2＝EC2+AC2＝8，DQ2＝AD2-AQ2＝()2-()2＝3
∴AE＝，DQ＝，SΔADE＝·AE·DQ＝
设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为α，D、E分别在底面的射影为B、C，∴ΔABC的面积＝ΔADE面积×cosα
即＝cosα,cosα＝,∴α＝45°[来源:学_科_网]
答 (1)SBCED＝3cm2,(2)VA-BCED＝cm2,(3)截面ADE与底面ABC成45°的二面角，(4)SΔADE＝cm2