高考第一轮复习数学：2.10函数的最值.doc

2.10 函数的最值

●知识梳理
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；
（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·
c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.
（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.
（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
（5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.
（6）函数的单调性法.
●点击双基
1.（2003年春季北京）函数f（x）=的最大值是
A. B. C. D.
解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+≥，
∴f（x）=≤，f（x）max=.
答案：D
2.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：∵x2+y2=1，∴可设x=cosα，y=sinα.
∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5.
答案：C
3.（2004年春季安徽）函数y=－x（x≥0）的最大值为___________________.
答案：
4.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________.
解析：∵x＞0，y＞0，
∴3x·2y≤（）2＝62xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）.
答案：6
5.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________.
解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.
答案：2
●典例剖析
【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）

解：由题意得x·y+·x·=8，∴y==－（0＜x＜4）.
于是，框架用料长度为
L=2x+2y+2（）=（+）x+≥2=4.
当且仅当（+）x=，即x==8－4时，等号成立.
此时，x≈2.343，y=2≈2.828.故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
【例2】 设f（t）=
g（t）=－t+（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.
解：当0≤t＜20时，S=（t+11）·（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.
当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.
综上所述，S的最大值是176.
【例3】 设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值，求这时a和x的值.
解：原式可化为logax＋－＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－）2＋，知当logax＝时，logay有最小值.
∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a.
根据题意有a＝a＝.这时x＝a＝（）＝.
评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.
深化拓展
已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.
解：由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.
又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.
∴当x=1时，g（x）有最小值6；
当x=3时，g（x）有最大值13.
答案：当x=1时，g（x）有最小值6；
当x=3时，g（x）有最大值13.
●闯关训练
夯实基础
1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是
A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1
C.减函数且最小值是－1 D.减函数且最大值是－1
解析：f（a）=1，∴f（－a）=－1.
答案：B
2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.
解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=.
∴S正=（）2=，S圆=π·.∴S正+S圆=（0＜x＜1）.
∴当x=时有最小值.
答案：
3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）；④f（x）=；⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|.
其中是F函数的序号为___________________.
答案：①④⑤
4.函数y=（x≥0）的值域是______________.
解析：由y=（x≥0），得x=≥0.∴－＜y≤3.
答案：（－，3］
5.求函数y=|x|的最值.
解：三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，］，
（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y=sin2θ.∴ymax=，ymin=0.
培养能力
6.设函数f（x）=x2+x+的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？
解：∵f（x）=（x+）2+的图象是以（－，）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n＞－，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+，n2+3n+］.其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）－（n2+n+1）+1=2n+2个整数.
7.已知函数g（x）=lg［a（a+1）x2－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.
解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数.
①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数；
②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；
③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数，
∴必须有解得≤a＜－1或0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是［，－1］∪［0，］.
探究创新
8.已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R.
（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；
（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图.

解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0，
y2=x2（1－x2）2=·2x2（1－x2）（1－x2）≤·［］3=，
∴y≤=.
当且仅当2x2=1－x2，即x=时，取“=”，即f（x）max=f（）=.
（2）由（1）知，当x∈（0，］时，f（x）单调递增，x∈［，+∞）时，f（x）单调递减.
设x2＞x1＞0，则f（x2）－f（x1）=－x23+x2－（－x13+x1）
=（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12）=（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］.
当0＜x1＜x2≤时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＞0.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）在（0，］上递增.
当≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在［，+∞）上递减.
（3）注：图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.

评述：第（1）题也可用导数解决.∵（x）=1－3x2，
令（x）=0，∴x=±.又x＞0，∴x=.
通过检验单调性知，当x=时，f（x）取得最大值，其最大值为，以下解法同上.
●思悟小结
1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.
2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.
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教学点睛
利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.
拓展题例
【例1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=5，求f（x）的解析式.
解：∵f（3）=f（－1），
∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=－2.
∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11.
【例2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）.
（1）若f（5）=9，求f（－5）的值；
（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.
解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.
∴f（x）是以10为周期的周期函数.
∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.
（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=
∴g（x）=
∵x∈［16，17］时，g（x）的最大值为16，最小值为9；x∈（17，20］时，g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，
∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.