宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学理试题.doc

银川一中2013届高三年级第六次月考
数 学 试 卷（理）
2013.2
　　　　　　　　　　　 命题人：韩生亮
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．等差数列及等比数列中，则当时有（ ）
A． B． C． D．
2. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
3. 若直线和直线关于直线对称，那么直线恒过定点( )
A．（2，0） B．（1，－1） C．（1，1） D．（－2，0）
4. 设若，则的值为 ( ）
A． B. C. D.
5. 若函数，，则函数的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为(　　)
A． B．1 C． D．
7. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为，则的方程为(　　)
A． B． C． D．
8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)

9. 设为两条直线，为两个平面，则下列结论成立的是(　　)
A．若且，则 B．若且，则
C．若，则 D．若则
10.设是等比数列的前n项和，，则等于(　　)
A. B. C. D.
11. 在锐角中，若，则的范围（ ）
A． B． C． D．
12. 设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在 上(　　)
A．是增函数且 B．是增函数且
C．是减函数且 D．是减函数且
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）
13. 将函数的图象向左平移个单位后，得函数的图象，则等于 .
14. 设命题，命题.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
15．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____．
16．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，
，那么实数的取值范围是________．
三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程。）
17．（本小题满分12分）
在中，的对边分别为，且．
(1）求的值；
(2）若，，求和．
18．（本小题满分12分）
设各项均为正数的等比数列中，，.设.
(1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：；
19．（本小题满分12分）
是双曲线 上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．
20．（本小题满分12分）
如图，直角梯形与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
21．（本小题满分12分）
设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做。则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图，直线过圆心，交⊙于，直线交⊙于(不与重合)，直线与⊙相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.
求证：(1) ;
(2) .
23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数) 是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
24. （本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
设函数,其中.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求的值.

银川一中高三第六次月考数学答案（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
A
D
C
B
D
D
B
A
D
二、填空题：(共5小题，每小题5分)
13. 14. 15. 16π 16. (－2，－]∪[，2)
三、解答题：
17.（1）由正弦定理得，，
又，∴，… 2分
即，∴，… 4分
∴,又，∴ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分
(2）由得，又，∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
由，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
∴，即，∴．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18．解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，
由题意有，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
∴a1＝q＝2， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
∴an＝2n， ∴bn＝n. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
(2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
当n≥2时，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋＋＋…＋，
∴cn＝＋＋＋…＋. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
相减整理得：cn＝1＋1＋＋…＋－＝3－＜3，
故cn＜3. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
19．解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1， 。。。。。。。。。。1分
由题意又有·＝， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则① 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
设，，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2。。。。。。。7分
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2
得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
20．解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
因为四边形为直角梯形，
，，
所以四边形为正方形，所以． 。。。。。。4分
所以平面．
所以 ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）解法1：因为平面平面，且
所以BC⊥平面。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
则即为直线与平面所成的角。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
设BC=a，则AB=2a，，所以
则直角三角形CBE中，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
即直线与平面所成角的正弦值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
解法2：因为平面平面，且 ，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为．（参照解法1给步骤分）。。。。。。。。。。12分
21．解：（I）的定义域为 。。。。。。1分
令，其判别式 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
（1）当时，故在上单调递增 。。。。。。。。。。。3分
（2）当时，的两根都小于，在上，，
故在上单调递增。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（3）当时，的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．。。。。。。。。。。6分
（II）由（I）知，．因为，
所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
又由(I)知，．于是 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
若存在，使得则．即． 。。。。。。9分
亦即 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
再由（I）知，函数在上单调递增， 。。。。。。。。。。。。。。。11分
而，所以这与式矛盾．
故不存在，使得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

四、选做题
（22）22.【证明】(1)连结BC,∵AB是直径，
∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.
∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.
∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)连结CF,∵EC切⊙O于C, ∴∠ACE=∠AFC.
又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC.
∴,∴AC2=AE·AF. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

（23）解：(1)设P(x，y)，则由条件知M，
由于M点在C1上，所以
从而C2的参数方程为(α为参数) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

（24）解：（Ⅰ）当时，
可化为.由此可得 或.
故不等式的解集为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组 或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得，故 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分