中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第20讲曲线轨迹的探求.doc

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数学高考综合能力题选讲20

曲线轨迹的探求
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和热点也就不足为奇了．
探求动点的轨迹，主要有以下方法：
（1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论．
（2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论．
（3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等．
解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．

范例选讲

例1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1．
（Ⅰ）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；
（Ⅱ）求此双曲线的方程；
（Ⅲ）设此双曲线的左右焦点分别是，Q是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足M的轨迹．

讲解：（Ⅰ）可考虑反证法．
证明：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得，所以，．
假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为．
在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然后把用表示，利用的最小值为1，推出矛盾．而另一方面，是否有更简捷的办法呢？由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点A到渐近线的距离大于1”．
经过验证，猜想正确．（事实上，点A（2，0）到渐近线的距离为）．所以双曲线上动点到点A的距离都超过1．所以，不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：，
则这个双曲线上任一点到点的距离为：

∵，
∴若，则当时，有最小值，由，解得（舍去）；
若，则当时，有最小值，由，解得；
∴双曲线的方程为：
（Ⅲ）解：设点M的坐标为（x，y），延长与交于点T，连接OM．
∵ QM平分，且QM⊥，
∴ ，．
又∵点Q是双曲线右支上的动点，
∴
∴ ，
∴ ，
即点M在以O为圆心，为半径的圆上．
∵ 当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，
∴ 点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C,点D.方程为：．

点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法．

例2．如图，过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.
（I）若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；

（II）设P，Q两点只在第一象限运动，
（0，8）点与线段PQ中点的连线交x轴于
点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围.

讲解：（I）要求点R的轨迹方程，注意到
点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可
以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关
系．
然而，点R与直线l并无直接联系．与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键．
由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：

∵ 、Q
∴
解得
设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知：

将其代入直线l的方程，得
∵ 四边形PFQR是平行四边形，
∴ 中点也是中点.
∴
又
∴ ．
∴ 点R的轨迹方程为
（II）因为P、在第一象限，所以，，．结合（I）得，…①
点（0，8）与PQ中点所在直线方程为．令y=0,得N点横坐标为：．
因为N在点A右侧，令，得．解之得k<0或 ② 综合①②，得k的取值范围是

点评：选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键．本题中的中点M就起到这样的作用．实际上，转移点法中的“转移”，参数法中的“参数”都表达了同样的意思．

高考真题

1. （1995年全国高考题）已知椭圆，直线．P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|∙|OP|=|OR|2．当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2. （1999年全国高考题）如图，给出定点和直线是直线上的动点，的角平分线交于点．求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系．

3．（2001年上海春季高考）已知椭圆的方程为，点的坐标满足．过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：

（1）点的轨迹方程；
（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．

[答案与提示：1．； 2．； 3．(1)点Q的轨迹方程为； （2）略．]

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