学业分层测评(三) 简单的逻辑联结词.doc

学业分层测评(三)　简单的逻辑联结词
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.命题“三角形ABC是等腰直角三角形”是________形式的命题.(填“p∧q”“p∨q”“綈p”)
【解析】　“三角形ABC是等腰直角三角形”的意思是三角形ABC是等腰三角形并且是直角三角形，所以该命题是“p∧q”形式的命题.
【答案】　p∧q
2.给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为－1,1].在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为________.
【解析】　p为真命题.对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，綈p假，所以只有一个真命题.
【答案】　1
3.(2016·榆林高二检测)已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________.
【解析】　p：x<3；q：－1<x<5.∵p且q为假命题，
∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
【答案】　(－∞，－1]∪3，＋∞)
4.命题p：函数y＝2sin(x∈R)的最大值为2，命题q：函数y＝2sin(ω>0)的最小正周期为2.若p∧q是真命题，则ω＝________.
【解析】　p∧q为真命题，p为真命题，q也为真命题，∴＝2，∴ω＝π.
【答案】　π
5.(2016·扬州高二检测)给定四个结论：
(1)一个命题的逆命题为真，其否命题一定为真.
(2)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题 .
(3)x>1的一个充分不必要条件是x>2.
(4)若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A中的队员都不是北京人”.
其中正确命题的序号是________.
【解析】　(1)一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，真假相同，正确.
(2)若p∨q为 假命题，则p，q均为假命题，正确.
(3)由于x>2⇒x>1，其逆命题为假，故x>1的一个充分不必要条件是x>2，正确.
(4)“都是”的否定为“不都是”，若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A中的队员不都是北京人”，错误.
【答案】　(1)(2)(3)
6.已知全集为R，命题p：0∈N，q：{0}⊆∁RQ，则下述判断：①p∧q为真；②p∨q为真；③綈p为真；④綈q为假，其中正确的序号为________.
【解析】　由于N表示自然数集，∁RQ表示无理数集，于是p：0∈N为真，q：{0}⊆∁RQ为假，所以p∧q为假，①错误；p∨q为真，②正确；綈p为假，③错误；綈q为真，④错误.
【答案】　②
7.(2016·泰州高二检测)已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数.由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有________个.
【解析】　命题p是真命题.y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题.∴p且q为假，p或q为真，綈p为假.
【答案】　1
8.已知命题p：x2－x＋6≤0或x2－x－6≥0，q：x∈Z，若“綈q”与“p∧q”都是假命题，则x＝________.
【解析】　∵“綈q”为假，∴q为真，又“p∧q”为假，从而知p为假命题.
故有解得∴x的值为－1,0,1,2.
【答案】　－1,0,1,2
二、解答题
9.用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】　(1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数.(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数.(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数.(真)
(4)2≤3⇔2＜3或2＝3.(真)
10.设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2，命题q：函数y＝log2(ax－1)在区间1,2]内单调递增.
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由.
【解】　(1)令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)＜0，∴3＋a＜0.∴a＜－3.
(2)若q为真命题，则a＞0且a－1＞0，∴a＞1.
∵a＜－3与a＞1不可能同时成立，∴p∧q不可能为真命题.
能力提升]
1.在下列结论：
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
其中正确的结论为________.
【解析】　对于①，当p∧q为真时，p与q均为真，p∨q为真，但当p∨q为真时，p与q至少有一个为真，但p∧q不一定为真，故是充分不必要条件.
对于②，p∧q为假，即p与q中至少有一个为假，则p∨q真假不确定，而当p∨q为真时，即p与q中至少有一个为真，则p∧q真假不确定，故既不是充分条件也不是必要条件.
对于③，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，但綈p真假不确定，但当綈p为假，即p为真时，p∨q一定为真，故是必要不充分条件.
对于④綈p为真，即p为假，则p∧q为假，但当p∧q为假，即p与q至少有一个为假时，綈p真假不确定，故是充分不必要条件.
【答案】　①③
2.(2016·济南高二检测)命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】　命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则“綈p”为真时，a>1；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a> 0，即a<0或a>1，则“綈q”为真命题时，0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假：
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
【答案】　a≥0
3.已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是________.
【解析】　由x2－4x＋3<0可得p：1<x<3；由x2－6x＋8<0可得q：2<x<4，∴p且q为：2<x<3，由条件可知，{x|2<x<3}是不等式2x2－9x＋a<0的解集的子集，即方程2x2－9x＋a＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于3.令f(x)＝2x2－9x＋a，则有
⇒a≤9
【答案】　(－∞，9]
4.(2016·东莞高二检测)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.
【导学号：24830012】
【解】　设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2，
∴命题p中a应满足－2＜a＜2.
函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2.∴命题q中a应满足a＜2.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.
(1)若p真q假，则此不等式组无解.
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上，实数a的取值范围是a≤－2.