九年级数学上册 命题与证明教案 湘教版.doc

教案

命题与证明

2.2 命题
考标要求：
1 了解命题与逆命题的概念；知道命题有真假，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立；
2 能分清命题的条件和结论，能把一个命题写成“如果….那么…..”的形式
重点难点：
重点：命题的定义和形式，区分命题的真假；难点： 判断命题的真假
一 选择题（每小题5分，共25分）
1下列语句中
（1）四川地震让中国人众志成城；（2）中国加油！四川加油！
（3）对顶角相等 （4）过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行
是命题的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 下列命题是真命题的是（ ）
A 真命题的逆命题是真命题，B 如果那么a>b
C 如果 ac>bc,那么a>b ; D 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
3下列命题中，假命题的个数有（ ）
（1） 无限小数是无理数； （2）式子是二次根式；
（3） 三点确定一条直线； （4）多边形的边数越多，内角和越大。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4 下列命题中假命题是（ ）
A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；B 对角线相等的平行四边形是矩形；
C 四条边相等的四边形是菱形 ； D 有一组对边平行的四边形是梯形。
5 下列命题，真命题是（ ）
A 如图：如果OP平分∠AOB,那么,PA=PB；
B 三角形的一个外角大于它的一个内角；
C 如果两条直线没有公共点，那么这两条直线互相平行；
D 有一组邻边相等的矩形是正方形。
5题图
二 填空题(每小题5分，共25分)
6 命题“对顶角”相等，的条件是_____________________,
结论是：______________________________;
7把“同角或等角的余角相等”写成“如果…那么”的形式是______________________
_________________________________________;
8 命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是_________
__________________________________________;
9 命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是______________
_______________________________________;
10 请你任写一个真命题:________________________________________________________;
三 解答题（每小题10分，共50分）
11 写出下列命题的条件和结论并指出它是真命题还是假命题：
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线顶角的平分线互相重合；
（3）各位上的数字和能被3整除的整数能被3整除；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

12判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出反例。
（1） 有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；
（2） 有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3） 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
（4） 有一边对应相等的两个等边三角形全等；

13 写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若=a，则r叫a的平方根
（4）如果a≥0,那么=a

14 “若a>b,那么ac>bc”是真命题还是假命题，如果是假命题举一个反例并添适当的条件使它成为真命题。

15 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE，（1）请你再添一个条件，使得△BEA△BDC，并给出证明，你添加到条件是____________;(2)根据你添加到条件，再写出图中一对全等三角形：_______________(只要写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程)

15题图

课时评价11 2.2命题
1 B 2 D 3 C 4 D 5 D 6 两个角是对顶角，这两个角相等7如果两个角是同一个角或相等的角度余角，那么这两个角相等。8 直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°9 三角形中如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，
11
题号
题设
结论
真假性
（1）
等腰三角形有一个角是60°
这个三角形是等边三角形
真
（2）
三角形是等腰三角形
底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合
真
（3）
一个整数各数位上的数字之和能被3整除
这个整数能被3整除
真
（4）
平行四边形的对角线互相垂直
这个四边形是菱形
真
12 （1）真命题， （2）假命题，如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B,AD=AC,但△ABC与△ABD不全等
（3）真命题，（4）真命题， 13 （1）两条平行线线被第三条直线所截，同位角相等，（2）到角两边的距离相等的点在角平分线上
（3）若r是a的平方根，那么=a，（4）如果=a
，那么a≥0；14 假命题，如：2＞1，但2×（-1）＜1×（-1）
如果增加条件：“C＞0”，命题就成为真命题
15 （1）答案不唯一，如：AB=BC或∠BAE=∠BCD或∠BDC=∠BEA， （2）△DAC=△ECA

2.3 公理和定理
考标要求：
1 了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；
2 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；
3 掌握教材十条公理和已学过的定理。
重点难点
一 选择题（每小题5分，共25分）
1 下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小， （2）轴反射不改变图形的形状和大小
（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°
属于公理的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（ ）
A 公理和定理都是真命题， B公理就是定理，定理也是公理，
C 公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
3推理：如图∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是（ ）
A 等量加等量和相等，B等量减等量差相等C 等量代换 D 整体大于部分
4 推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知) ∴AD=CD,CD=DB( 等腰三角形的性质) ∴AD=DB( )

括号里应填的依据是（ ）

A 旋转不改变图形的大小
B 连接两点的所有线中线段最短
C等量代换
D 整体大于部分
5 下面定理中，没有逆定理的是
（ ）
A 两条直线被第三条直线所
4题图
3题图
截，若同位角相等，则这两条
直线平行
B 线段垂直平分线上的点到线段
两个端点的距离相等
C 平行四边形的对角线互相平分
D对顶角相等
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____
运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;
7定理： “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是：___________________
_______________________________________;
8 ____________________________________________________是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理
9 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下面结论中
（1） △ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3) AC=DF (4) AC∥DF (5) EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是_______________________________________

10 要使平行四边形ABCD成为一个菱形，
需要添加一个条件，那么你添加的是
_____________,依据是______

三 解答题（3×12+14=50分）
11 仔细观察下面推理，9题图

填写每一步用到的公理或定理

10题图
如图：在平行四边形ABCD中，
CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，
求∠BCE
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴AD∥BC（ ） ∵∠A=125°（已知） ∴∠B=180°-125°=55°（
11题图
）
∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°(
)
12题图

13题图
12 如图将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’若A点的坐标为（a,b）,则B点的坐标为（ ），你用到的依.据是________________________________________________
13如图所示，在直角坐标系xOy中， A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下面问题：(1)在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)写出点C关于y轴的对称点C′的坐标

14如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD

2.3 公理和定理
1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 公理 定理7 有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。8 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补9 ①②③④,平移不改变图形的性质和大小，平移不改变直线的方向，10 AB=BC，，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。11 平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两锐角互余。12 （0，a）,旋转不改变图形的性状和大小13 （1）略 （2）C’(4,3)
14 （1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC
(2) 由（1）知△ABC≌△ADC ∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC ∴BO=OD,AC⊥BD

2.4 证明（1）

课题
证明
课型
新授
时间
时
备课组成员

主备

审核

教学目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式.
2.能从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.
3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点
从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.
难 点
证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分
1、证明的必要性质：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确，还需要加以证实。
2、证明的定义：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明。
3、命题证明的步骤：(1)根据命题，画出图形；(2)根据条件，结合图形，写出已知、求证，已知部分是已知事项(即命题的条件)，求证部分是论证的事项(即命题的结论)；(3)写出证明的过程。
4、已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3.
求证：AD∥BC.
5、证明：同角的余角相等.
二、新课
(一)、情境创设：
一个数学结论的正确性如何确认呢？
其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书里，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理.
(二)、探索活动：
1.本教材选用下列真命题作为基本事实：
同位角相等，两直线平行.
两直线平行，同位角相等.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
三边对应相等的两个三角形全等.
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实.
2.探索“同角的补角相等”
(三)、交流与思考
用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.
已经证明的定理也可以作为以后推理的依据.
思考：如何证明“同位角相等”呢？
证明与图形有关的命题的步骤：
(1)根据命题，画出图形；
(2)根据命题，结合图形,写出已知、求证.已知部分是已知事项(即命题的条件),求证部分是论证的事项(即命题的结论)；
(3)写出证明过程.
三、例题讲解
例1、证明:内错角相等,两直线平行.
定理: 内错角相等,两直线平行.
尝试:证明:“同旁内角互补,两直线平行”.
(1)根据命题，画出图形；
(2)根据所画图形,写出已知、求证；
(3)说说你的证明思路.
例2、如何证明“对顶角相等”
(1)仿照问题1提问
师生共同合作完成推理：
四、课堂练习：
1、课本P136页练习题
2、已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,
∠1＝∠2，求证: a∥b.
五、小结与思考
(一)小结 本节课你有什么收获？
(二)思考：1、求证:平行于第三条直线的两直线平行
要求:画出图形,写出已知,求证,不要求证明.
2、已知：如图，∠1=∠2，CE平分∠ACD.
求证：AB∥CD.
六、中考链接
已知：如图，AB=CD，BC=AD，AE平分平分∠BAC，交BC于点E，CF平分∠DCA，交AD于点F，求证：AE∥FC。

七、布置作业
课本P139 习题11.3 第1、2 (在课本上填写)、5 题
课外作业《数学补充题》P84～85 11.3 证明(1)

画图、写出已知条件，求证。
讨论、交流：怎样写出推理的过程？

画图、写出已知条件，求证。
讨论、交流

写出证明的过程。

说出推理的思路。
写出推理的过程。

规范说理的过程。
口答。
教学后记：

2.4 证明（2）

课题
证明
课型
新授
时间

备课组成员

主备

审核

教学目标
1.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.
2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点
从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
难 点
证明的基本步骤和书写格式，推理的合理性.
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分
1、下列命题中不成立的是( )
A.两直线平行，同位角相等；B.两直线平行，内错角相等；C两直线平行，同旁内角互补；D.两直线平行，同旁内角相等。
2、如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥DC。
3、如图，∠BDE＋∠B=1800，∠AED=800，则∠C=____。
第2题 第3题 第4题

4、如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证：AF=AG。

二、新课
(一)、情境创设：
1.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论?
2.我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平行”的?
3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可以证明那些结论？
(二)、探索活动：
从基本事实“两直线平行，同位角相等”出发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？
1.画出图形，并根据图形写出已知、求证；
2.说出你的证题思路；
3.完成证明，并与同学交流.

结论：定理：两直线平行，内错角相等.

三、例题讲解
例1、.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD.
求证：∠1＋∠2＝180°.

说明：1. 通过合作交流让学生感受学习过程中合作的重要性，通过大家思维的互补从而得出最佳的结果.这里也可让学生板演，让学生自主地写出完整的讲明过程，教师要引导学生，也可让学生自己分析.
2. 在整个交流合作的过程中学生肯定会有不同的思考方法，然后可选择两个典型的思路方法全班同学共同分析，然后得出我们在证明过程中经常使用的两种方法：（1）分析法，（2）综合法.。
例2. 已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°.
求证：∠2=130°.
分析：思考方法一：
c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°.
思考方法二：
∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°.
说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.
请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.
四、课堂练习：
课本P137练习第1、2题
五、小结与思考
(一)小结 本节课你有什么收获？
(二)思考：如图2，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是( )
A. 60° B. 70°
C. 80° D. 65°

六、中考链接
已知：如图4，AD∥BC，∠ABC=∠C，
求证：AD平分∠EAC.

七、布置作业
课本P139 ～140习题11.3 第4、5、6题
课外作业《数学补充题》P85～86 11.3 证明(2)

学生回忆思考并用类比的方法证明平行线的性质

学生尝试画图并写出已知和求证

学生理解两种分析问题的方法,写出规范的解题过程

说明：1. 再次“尝试”证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.
2. 再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.

教学后记：

2.4 证明（3）

课题
证明
课型
新授
时间

备课组成员

主备

审核

教学目标
1、 进一步了解证明的基本步骤和书写格式.
2、能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.
3、继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点
从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.
难 点
证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分
1、在⊿ABC中，∠A＋∠B=1200，∠C=∠A，则⊿ABC是( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
2、下列叙述中正确的是( )
A.三角形的外角等于两个内角的和 B.三角形的外角大于内角 C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 D.三角形每一个内角都只有一个外角。
3、实验1：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图1)，然后把两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，(如图2、3，最后得到图4)所示的结果，从中，你发现了什么？
实验2：将三角形纸片三顶角剪下来，随意将它们拼凑在一起，你发现了什么？

4、如图，P是⊿ABC内一点，求证：∠BPC＞∠A。
二、新课
(一)、情境创设：
1、三角形三个内角的和等于多少度？2.你是如何知道的？这个结论正确吗
(二)、探索活动：
1.如何证明三角形内角和等于180°？
2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？
分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：
(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.
(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.
3.你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？
已知：△ABC.，求证：∠A+∠B+∠C=180
证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB。
∵CE∥AB,
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),
∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(三)交流：你还有不同的证明方法吗？与同学交流.
三、例题讲解
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形.
分析：为了将∠B、∠C“搬”到
一个三角形，可过点D作DE∥AB交
BC于E，从而∠1=∠B，又因∠B=
∠C，所以∠1=∠C，故DE=DC，又由
于AD∥BC，易知四边形ABED是平行
四边形，从而DE=AB，因此AB=CD，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”.
四、课堂练习：
课本P139练习第1题
练习：已知函数y=(m+1)x︱a︱－2是反比例函数，求a的值。
思考：P138 思考 完成P139练习题第2、3题
五、小结与思考
(一)小结 本节课你有什么收获？
(二)思考：如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.

六、布置作业
课本P139～141 习题11.3 第6、7、8、9题
课外作业《数学补充题》P87～88 11.3 证明 (3)

实验1、2实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路——把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.

根据分析，完成证明过程并与同学交流.。
还有不同的证明方法吗？

一般来说，梯形问题都可转化为三角形和平行四边形问题，为此平移一腰或延长梯形的两腰或分别过上底的两个顶点，向梯形的下底作高.让学生体会数学中转化思想，即把不熟悉的转化为熟悉的。

添加辅助线，构造基本图形利用基本图形解题。

教学后记：

2.4 证明（4）
【教学目标】
1、回顾三角形的内角和定理及推论；
2、学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；
3、体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法.
【重、难点】
重点：学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；
难点：体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法．
【教学过程】
一、情景创设
问题：
1、三角形3个内角的和是多少？
2、你是如何知道的？
3、你认为这个结论正确吗？为什么？

二、探究活动
问题：
1、 如何证明三角形内角和等于180°？

2、 你还有什么不同的证明方法吗？
通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

思考：如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？

三角形内角和定理的推论：
1、 ；
2、 .

三、例题讲解
例1：证明：直角三角形的两个锐角互余．

例2 ： 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E．
E
B
D
C
A

证明：∠E＝∠A．

四、学习巩固
1、证明：n边形的内角和等于（n－2）·180°.

2、 已知：如图，D是△ABC内的任意一点．
D
C
B
A

1
2
求证：∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2．

3、书P139 练习2、3

五、课后作业
1、如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.

2、如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：∠P＝90°．
C
P
D
B
A
E
F
1
2

2.4 证明（5）
考标要求
1了解证明的含义，理解证明的必要性；
2 了解证明的基本步骤和书写格式。
重点难点：
重点：用平行线的性质、判定定理、三角形的性质定理证明有关几何问题
难点：正确填写理由以及寻找证明思路
一 填空题（每小题5分，共25分）
1（2007北京）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）
1题图
A 35° B 55° C 45° D 60°
2（ 2007 江西）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落
在处， 交于，若，则在不添加任何辅助
线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2题图
3(2007 资阳) 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则

∠1+∠2等于（ ）
A 90° B 135° C 270° D 315°
4 如图，正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）
A 165° B 150° C 210° D 225°

5题图

4题图
6题图
3题图

5把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=( )
A 75° B 105° C 135° D 150°

二 填空题（每小题5分，共25分）
6 （2006 扬州）如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°∠ACO=30°那么∠BOC=______.
7 等腰三角形的两边长分别是10cm,21cm,这个等腰三角形的
周长等于_______cm.
8 已知三角形三边长a、b、c满足(a+b+c)(a+b-c)=2ab,则此三角形是________三角形。
9 （2007 贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是________
10 如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射的
出射光线BO’ 平行于α,则角，θ=______
三 解答题（12×3+14=50分）
11 如图在△ABC中，∠B的平分线交∠C的外角平分线∠ACE的平分线于点D，那么∠A
与∠D有怎样的数量关系,证明你的结论。

11题图
10题图

12 某学校初中三年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：（1） 画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；(2) 在AC延长线上截取CD=CB；（3）连接DB，则得到直角
∠ABC，你知道这是为什么吗？请说明理由。
12题图

13 证明：如图，EG∥AF,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知
条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只写出一种情况）
（1） AB=AC （2） DE=DF (3) BE=CF
已知：EG∥AF,____=_______,______=_______.

求证：___=____

13题图

14 （2007福州）如图，直线AC∥BD，连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有共同端点的两条重合的射线所组成的角是0°）

(1) 当动点P落在第一部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD
（2）当动点P落在第二部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否还成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P 在第三部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明
14题图

课时评价13 2.4 证明（1）
1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 115° 7 52 8 直角 9 2<m<14 10 60°
11 ∵∠D=∠DCE-∠DBE ,∠A=2∠DCE-2∠DBE=2(∠DCE-∠DBE)∴∠D=2∠A
12∵AC=BC ∴∠A=∠CBA ∵CB=CD ∴∠D=∠CBD ∵∠A+∠D+∠CBA+∠CBD=180°∴2(∠CBA+∠CBD)=180°∴∠∠CBA+∠CBD=90°即：∠ABD=90°∴△ABD是直角三角形
13 （答案不唯一）如选AB=AC,DE=DF作已知，BE=CF作结论，证明如下：
易证：△DEG≌△DFC,∴CF=EG ∵EG∥AC ∴ ∠EGB=∠ACB ∵AB=AC
∴ ∠B=∠ACB ∴ ∠B=∠EGB∴ BE=EG ∴ BE=CF
14 (1)如图1作PE∥AC交AB于E, ∵AC∥BD ,∴PE∥BD,
∴ ∠APE=∠PAC ,∠BPE=∠PBD, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD
图1
即：∠APB=∠PAC+∠PBD
(2)不成立
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
证明
1 D 2 D 3 B 4 D 5 B 6 4 7 3 8 70° 40° 40°或70°70°40°
9 等腰三角形10 45 11 ∵OP平分∠AOC和∠BOD，∴ ∠BOP=∠DOP, ∠AOP=COP,∴∠AOB=∠COD,又∵OA=OC,OB=OD,∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD
12 ∵AF平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC, ∴∠EDA=∠CAD=∠BAD,∴AE=ED∵∠EDB+∠ADE=90°∴∠BDE+∠BAD=90°∵∠EBD+∠BAD=90°∴∠BDE=∠EBD
∴BE=ED∴AE=BE
13 3cm
14 如图
15 (1)易证△ABD≌△CAE
图1
∴AD=CE
（2）由（1）知，∠BAD=∠ACE
图2
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE
=∠DAC+∠BAD=60°