八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系（第2课时）教案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中八年级上册数学教案.doc

直角三角形的三边关系
课题
14.1.1　直角三角形的三边关系
(第2课时)
授课人

教
学
目
标
知识技能
1. 理解几种常见证明勾股定理的方法，并会验证勾股定理；
2.应用勾股定理解决一些简单实际问题．
数学思考
用勾股定理会进行灵活变形，已知直角三角形的任两边，会求它的第三边；会将实际问题转化为数学问题．
问题解决
通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．
情感态度
在勾股定理的应用过程中，培养探究能力和合作精神，感受勾股定理的作用，培养数学素养．
教学重点
　　应用勾股定理解决简单的实际问题．
教学难点
　　将实际问题转化为数学问题中数形结合的思想．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
　　上节课的勾股定理是怎么得到的？
　　学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.

图14－1－
问题1：你能说出勾股定理的内容吗？
问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
上节课探索发现了勾股定理，让学生通过“总统证法”验证勾股定理，体会勾股定理的正确性，引领学生不断探索，不断深入.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　【探究1】拼图验证勾股定理　
活动内容：如图13－5－，是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.

图14－1－

图14－1－
　　问题1：图3中正方形ABCD的边长是________，正方形ABCD的面积可表示为________.
问题2：图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为________.
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应________.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
【探究2】拓宽视野，深入了解勾股定理的证法
用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们来欣赏几种！(课件出示)

图14－1－
问题：你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？
【探究3】探究只有直角三角形才满足a2＋b2＝c2.
我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2.

图14－1－
问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？

1.让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强．图3、图4都能够证明勾股定理，并且这两个图形的证明方法类似，因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明，目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.
2.介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别是勾股定理的无字证明，从另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性，激发学生的学习兴趣．让学生验证总统证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身的实践活动加深对勾股定理的理解.
3.学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节直角三角形的判别打下基础.

【应用举例】

图14－1－
例1　【教材例2】如图14－1－，Rt⊿ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一直角边BC长为6 cm，求AC的长.
变式：如图14－1－，在Rt⊿ABC中，∠C－90°，AD、BE是中线，AD＝，BE＝，求AB的长.
例2　【教材p111例3】

图14－1－
如图14－1－，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为16米，BC的长为12米．问从点A穿过湖到点B有多远？

图14－1－

图14－1－
变式：我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
1.让学生体能灵活运用勾股定理结合方程，求直角三角形的边长，目的是学以致用.
2.应用勾股定理
解决实际问题时，会将实物图抽象为直角三角形，找到已知边长，和未知的边长.
3.为了巩固所学的勾股定理知识，教师逐步引导学生初步运用勾股定理解决实际的问题；强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【拓展提升】

图14－1－
例3　如图14－1－，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是__(____)2015__.
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为(　　)
A.600米；　B．800米；　C．1000米；　D．不能确定
2.等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为(　　).
A.30 cm2　B．130 cm2　C．120 cm2　D．60 cm2
3.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积

图14－1－

图14－1－
4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.
总结、扩展
学生活动：谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中老师引导学生将本节的知识系统化.
作业：
1.课本P6中的随堂练习
2.课本P6中的习题1.2中的T1、T3
这一环节设计了4道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第1，2题，学生容易解决，第3，4道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，有一定难度．在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.
　　【知识网络】
§14.1.1　直角三角形三边关系(2)
一、验证勾股定理→拼图→面积法(等积法)
二、例
三、练习
定理变形：1.(a＋b)2＝ab×4＋c2　2.c2＝ab×4＋(b－a)2
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.
②[讲授效果反思]
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样学生较容易地突破了本节课的难点.
③[师生互动反思]
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④[习题反思]
好题题号　当堂训练1，4　　　　　
错题题号　补充练习二　　　　　　
反思，更进一步提升.