山东省东营市垦利区郝家镇九年级数学上册 24.1.4 圆周角教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

课题名称：24.1.4 圆周角
1、教学目标（或三维目标）
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
2、教学重点
圆周角的概念和圆周角定理．
3、教学难点
用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
4、教学过程：
1）课堂导入
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.

(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．
(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．

学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．

2）重点讲解
1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．
提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．
2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3）问题探究
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．
4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．
5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．
6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
4）难点剖析
1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？

让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．

3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？

4．师生共同解决教材第87页例4.
5）训练提升
一、选择题
1.如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（ ）
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
C
·
B
D
O
A

2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D.80°

A
C
B
O

3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40 º，则∠B的度数为（ ）
A．80 º B．60 º C．50 º D．40 º

4.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°

5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ ）
A.40°B.50°C.60°D.70°



6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．

7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12

8、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　）

B．
AF=BF
C．
OF=CF
D．
∠DBC=90°
二、填空题
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 ．

2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=　 　度．

3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝ .

4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ ..

5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=　 ．

6、如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=　 　cm．

7、如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为　　．

8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　．

9、如图，圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=　　．

10、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是 度．

三、解答题
1、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.

2． 如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．

A
C
B
D

E
F
O

3、如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．

4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

参考答案：
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.C
5. C
6.C
7、A
8、C
二、填空题
1．150°
2．25°
3.60°
4. 40° .
5、20°
6、5
7、50°
8.
9、30°
10、144°
三、解答题
1、

2．
A
C
B
D

E
F
O
1
2

解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1
又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A
∴∠1﹦∠2,
∴ CF﹦BF﹒
(2) ⊙O的半径为5 ， CE的长是﹒
3、

解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=8×=4．

4、

证明：（1）∵OD⊥AC   OD为半径，
∴，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
5、

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（x﹣2）2+x2=42，
解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+．
5、板书设计：
24.1.4 圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧所对的圆周角相等
推论2：等弧所对的圆周角相等
推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.反之，直角所对的弦是直径.
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

6、教学反思：