辽宁省开原市第五中学九年级数学上册 1.4.1 角平分线教案 北师大版.doc

第9课时
§1.4.1 角平分线
教学目标
1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、 能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学重点和难点
重点：角平分线的性质定理、判定定理
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题

教学过程设计
一、 从学生原有的认知结构提出问题
以前我们曾研究过角平分线上的一些性质，这节课，我们通过证明，得出它的性质，应用这个两个定理解决一些几何问题。

二、 师生共同研究形成概念
1、 书本引例
☆ 想一想 书本P 31 上面
学生已经探索过角平分线的性质，此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试证明。

2、 角平分线的性质
1） 点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。

2） 角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

3） 符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE

3、 角平分线的判定
1） 猜想 想一想 书本P 31 中间
学习线段的垂直平分线时，学生已经历了构造其逆命题的过程，因此学生容易类比着来构造角平分线性质定理的逆命题。

2） 定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

3） 符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
4、 讲解例题
例1 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。
分析：要证OB = OC，只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE，为此,还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得。

例2 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。
分析：要证OB = OC，只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE，为此,还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得。

例3 如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。
分析：此题要运用到线段的垂直平分线的性质，引导学生把线段等量代换。

例4 如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
a) 已知CD = 4cm，求AC的长；
b) 求证：AB = AC + CD。
分析：此题较难，但通过上面的分散难点的例题，降低了难度。

☆ 读一读 书本P 33 读一读
目的是使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学字的探索精神。

三、 随堂练习
1、 如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。

2、 如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。

3、 如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。求证：DA + CB = AB。

4、 《练习册》 P 8

四、 小结
角平分线的尺规作法。

五、 作业
书本 P 34 习题1.8 3

六、 教学后记