山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.4 二次函数复习教案 北师大版.doc

3.4二次函数复习教案

复习目标：
1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.
2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.
3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.
4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.
复习重点与与难点
重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．
难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．
教法及学法指导：
本节课通过学生练习、展示，针对出现的易错点，我及时点拨矫正，点明考的知识点及解决问题的基本方法；再通过例题拓展知识的应用，给学生以示范，培养学生应用知识的能力和规范意识，后通过达标检测，查缺补漏，从而做到“堂堂清”，提高课堂效率．
教学准备：
教师准备：多媒体课件。
学生准备：导学案。
教学过程：

一、课前热身，回顾知识
（学生在提前下发的导学案上完成知识梳理，初步回顾二次函数的知识点.）
1.二次函数定义：一般地，形如 的函数叫做二次函数.
2.二次函数的三种表达式：
(1)一般式： ；
（2）顶点式： [a≠0，（h，k）是抛物线的顶点坐标]；
（3）交点式： （a≠0，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标）.
3.二次函数的图象及性质：
图象：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是 ，它是 图形.
性质：（1）抛物线的开口方向由 确定，当 时，开口向 ；当 时，开口向 .
（2）抛物线的对称轴是直线x= .
（3）抛物线的顶点坐标是（ ， ）.
（4）若a＞0，当x= 时，y有最 值，是 ；若a＜0，当x= 时，y有最 值，是 .
（5）若a＞0，当x 时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而 ；若a＜0，当x 时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而 .
4.二次函数图象的平移：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可以通过配方转化为顶点式，图象可以由y＝ax2（a≠0）经过适当的平移得到.具体平移方法如下图所示：（利用口诀“上加下减，左加右减”进行记忆）
向上（k＞0），向下（k＞0）

向右
向左
平移
单位
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个
平移︱k︱个单位

向右
向左
平移
单位
（h＞0）
（h＜0）
︱h︱个

向上（k＞0），向下（k＞0）

平移︱k︱个单位

+k

5．二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c符号的关系：

a，b，c符号
二次函数ax2+bx+c=0的图象
a的符号
a 0
抛物线开口向上
a 0
抛物线开口向下
b的符号
（“左同右异”）
a、b
抛物线的对称轴在y轴的左侧
b 0
抛物线是y轴
a、b
抛物线的对称轴在y轴的右侧
c的符号
c 0
抛物线与y轴交于正半轴
c 0
抛物线与y轴交于原点
c 0
抛物线与y轴交于负半轴

6.二次函数与一元二次方程的关系：
(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当给定y的值时，二次函数可以转化为一元二次方程.当y=0时，ax2＋bx＋c=0，此时方程的解就是抛物线与x轴交点的 ，由此，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的 或根的取值范围.
(2)抛物线与x轴的交点情况与符号的关系：
0 抛物线与x轴有两个交点，
0 抛物线与x轴有一个交点，
0 抛物线与x轴没有交点.

7.运用二次函数解决实际问题的思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量与常量，以及它们之间的关系；
（3）用数学的方法表示变量间的关系，即建立二次函数模型；
（4）用函数知识求解；
（5）检验结果的合理性.
设计意图：二次函数的知识点较多，若让学生自己梳理，学生梳理的可能不全面.因此，在导学案上以填空题的形式给学生梳理出来，再让学生填空.填空的同时要让学生（1）明确本章的知识点，（2）明确各知识点间的联系.
二、题组训练，夯实基础
师：在大家全面梳理知识的基础上，让我们一起来关注几个核心内容（引领学生完成导学案上的基础题组训练）.
题组一：
1.已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小.
2.(2012，兰州)抛物线y=-2x2+1的对称轴是_____，顶点坐标是_____.
3.(2012，泰安)将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线为（ ）
A、 B、
C、 D、
4.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A、a＞0，b＜0，c＞0 B、a＜0，b＜0，c＞0
C、a＜0，b＞0，c＜0 D、a＜0，b＞0，c＞0
5.(2011，温州)已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0
C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值

设计意图：本题组问题设置十分简单，在回顾已学知识的基础上可以直接得出答案，课堂上可以采取抢答的方式解决，教师在需要时引导学生找出解题的关键点、指导学生正确解答的方法，并及时作出评价.借助本基础题组，让学生巩固二次函数的图象和性质，体会数形结合的思想，同时更是为后面应用二次函数的图象和性质解决问题做铺垫.
题组二：
1.求抛物线y＝－x2－x+的对称轴和顶点坐标.
2．已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点坐标为（-2，），求这个二次函数的解析式.
3.（2012，衢州）已知二次函数y＝－x 2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A、y1＞y2＞y3 B、y1＜y2＜y3 C、y2＞y3＞y1 D、y2＜y3＜y1
4.（2012，资阳）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A、 B、
C、且 D、或
（采取先独立完成，后交流的方式，师巡视时并作个别指导。）
设计意图：待定系数法确定抛物线的解析式，以及求抛物线的对称轴和顶点坐标，是本章的重要内容，也是考试的重点，通过这个题组，必须要让学生熟练掌握解题方法.让应用不同解法的学生在黑板指定的位置上板演，评价时引导学生比较不同解法的优劣，树立优化意识。
三、典例剖析，深化知识
例1 如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，你能从此图象中获取哪些信息？
【生】（3分钟时间思考，尽可能多的写出获取的信息）
【生1】因为抛物线开口向上，所以a>0；因为对称轴在y轴右侧，所以b<0；因为抛物线交y轴负半轴，
所以 c<0.
【生2】抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-2）.
【生3】当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值，y最小=-2.
【生4】抛物线与x轴的一个交点坐标是（3,0）.
【生5】因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac>0.
【生6】因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-1，0）.

【生7】设抛物线表达式是y＝ax2＋bx＋c，把点（1，-2），（3,0），（-1,0）分别代入，得： 解得 所以，抛物线的表达式是y＝x2–x.
【生8】因为抛物线的顶点是（1，-2），所以设抛物线表达式是-2，把点（3,0）代入，得：4a-2=0.解，得：a=.所以，抛物线的表达式是-2,即y＝x2–x.
【生9】因为抛物线与x轴的两个交点分别是（3,0），（-1,0），所以设抛物线表达式是y＝a（x-3）（x+1），把点（1，-2）代入，得：-4a =-2.解，得：a=。所以，抛物线的表达式是y＝（x-3）（x+1），即y＝x2–x.
【生10】一元二次方程x2 –x=0的两个根分别是x1=3，x2=-1。
【生11】当-1<x<3时，y<0；当x<-1或x>3时，y>0.
设计意图：学习函数的一种重要的方法就是“数形结合”.导入问题主要考查学生对二次函数图象性质的理解程度，同时在每一个信息的背后让学生明确每一个知识点.设计为结论开放题，可以尊重每一位学生，让各层次学生都能有成功的体验.
例2（2012，青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．
(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价
x(元/个)之间的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销
售单价，并求出最大利润．
【生】（8分钟时间读题，找到问题中的量及各量之间的关系，将实际问题转化为数学问题，并尝试解决问题，同伴间交流、补充。）
解题思路：（1）结合图中四个点的位置，猜想y是x一次函数，设y=kx+b，任取图中的两个点代入，再用另外两个点验证.
(2)根据“总利润= 单个利润×销售量”，可列出 w与x 的函数关系式.
（3）由“许愿瓶的进货成本不超过900元”，确定x的取值范围，在这个范围内求函数的最值.
【师】（规范学生的思考及解题过程）
解：（1）y是x一次函数，设y=kx+b.
∵图象过点（10，300），（12，240），
∴，解得.
∴y=-30x+600
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120.
即点（14，180）（16，120）均在函数y=-30x+600图象上.
∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.
（2）w=（x-6）（-30x+600）= -30x2+780x-3600.
即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600.
（3）由题意得6（-30x+600）≤900.解得x≥15.
∵a=-30＜0, ∴抛物线开口向下.
∵==13,
∴当 x≥15时，w随x增大而减少.
∴ 当x=15时，w最大=1350.
即以15元∕个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.
【师】解决此类问题，一般要先列出二次函数关系式，再利用二次函数的图象、性质及问题的具体情况解决问题.其中列函数关系式同方程一样，关键是寻找数量关系.
例3（2012，安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0，y=2，及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；（3）先把x=0，y=2，代入到y=a(x-6)2+h中求出；然后分别表示出x=9，x=18时，y的值应满足的条件，解得即可.
解：（1）把x=0，y=2，及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h。
即2=a(0－6)2+2.6，∴。
∴y=(x-6)2+2.6。
（2）当h=2.6时，y=(x-6)2+2.6。
当x=9时，y=(9－6)2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网。
当x=18时，y=(18－6)2+2.6=0.2＞0
∴球会过界。
（3）把x=0，y=2代入到y=a(x-6)2+h得；
x=9时，(9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，(18－6)2+h=＞0 ②
由① ②得h≥。
【师】本题是二次函数问题，利用函数图象上点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质来结合实际问题求解.
设计意图：只学数学知识，而不将数学知识联系生活，数学就是无意义的学科，也不会唤起学生对数学学习兴趣.利润问题、图形面积问题是二次函数中最具代表性的实际问题，准确分析其中的数量关系是解决问题的关键.
四、总结收获，提炼反思
师：今天我们学习了哪些数学知识？
我最大的收获是……
我表现不足的地方是……
我想进一步研究的问题是……
设计意图：学生互相说出自己的感受和收获，都能说出二次函数的各个考点及解决方法，让学生感受到二次函数的应用．
五、当堂达标，反馈矫正
1.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A、y=x2－1 B、y=x2+1 C、y= (x－1)2 D、y=(x+1)2
2.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x=1时，y的值为（ ）
A、5 B、-3 C、-13 D、-27

3.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)下列说法正确的是（ ）
A、图象开口向下 B、当x＞1时，y随x的增大而减小
C、x＜1时，y随x的增大而减小 D、图象的对称轴是直线x=-1
4．(2012，巴中)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
设计意图：为了能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，分层设置一组课堂反馈训练题，要求学生完成必做题后，可以有选择的去做选做题，有助于学生开拓思维，提高能力．
六、布置作业，课堂延伸
A组：复习丛书47页 第1、2、3、4、6、8、10题；第49页 第12、15题。
B组：复习丛书48页 第5、7、9题；第50页第13、14题。
板书设计:
第三讲 考点4 二次函数
一、例1

二、例2

三、例3

投
影
区

学生板演处

教学反思：
本节课的亮点是：
1.考点复习全面，练习充分，点拨得当，利用题组训练的形式进行复习，由易到难的问题设计层层推进了教学过程，达到分散难点的同时也突出重点的目的，并使学生学的过程轻松而又愉快.
2．导学案、多媒体的应用扩大了课堂的容量，让学生清楚每一步的任务的同时，直观系统地掌握知识．
不足之处是：由于基础复习占用时间较多，学生拓展练习做得不够充分，以后的复习中应注意．