秋九年级数学上册 3.4.2 相似三角形的性质教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

相似三角形的性质
教学目标
【知识与技能】
理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
【过程与方法】
对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
【情感态度】
在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质的应用.
【教学难点】
相似三角形性质的应用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′，
又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
3.如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.

解：∵△A′B′C′∽△ABC,
∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC,
∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，
∴∠B′A′D′=∠BAD,
∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴=k
根据上面的探究，你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
4.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
5.如图△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=k，AD、A′D′为高线.
(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？

分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′,
所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k.
由并比的性质可知，
（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k.
（2）由题意可知,
因为 △ABD∽△A′B′D′,
所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
因此可得,
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）
=k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P86例9、P88例11、例12.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且=，B′D′=4，则BD的长为____.
分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，

【答案】 6
3.在△ABC和△DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.
【答案】 A
4.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，则AB∶A′B′=_____．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶.
【答案】 1∶
5.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的_____.
分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的.
【答案】
6.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;
（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和 △ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.

7.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2） 由（1）知△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，∴BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG,CD=BG.
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．
8.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．
解：设△ABC的三边依次为：BC=5,AC=12,AB=13，
∵AB2=BC2+AC2，
∴∠C=90°．
又∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=90°．

又BC=5,AC=12，
∴B′C′=10,A′C′=24．
∴S=A′C′×B′C′=×24×10=120．

（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.

【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第6、7、9题.
教学反思
本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.