九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案2 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
01　　教学目标
1．通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数．
2．通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值．

02　　预习反馈
阅读教材P15～16，完成下列内容．
1．完成下列表格：

方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
x2－5x＋6＝0
2
3
5
6
x2＋3x－10＝0
2
－5
－3
－10
　　问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．
②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
2．完成下列表格：

方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
2x2－3x－2＝0
2
－

－1
3x2－4x＋1＝0

1

　　问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．
②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－，x1x2＝.
3．利用求根公式推导根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝，x2＝．
则x1＋x2＝－，x1x2＝．

03　　新课讲授
类型1　利用根与系数的关系求方程的两根之和与积
例1　(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积：
(1)x2－6x－15＝0；　(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3.
(3)x1＋x2＝，x1x2＝.
【点拨】　先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

例2　(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
【思路点拨】　本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．
解：另一根为，k＝3.
【跟踪训练1】　已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
【点拨】　以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
【跟踪训练2】　(21.2.4习题)不解方程，求下列方程两个根的和与积．
(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；
(3)3x2－3x＝x2；(4)4x2－2x＋1＝x＋8.
解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5.
(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－，两根的积为－2.
(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为，两根的积为0.
(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为，两根的积为－.

类型2　根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值
例3　已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.
解：∵α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，
∴α＋β＝3，αβ＝－5.
(1)＋＝＝－.
(2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19.
(3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29.
∴α－β＝或－.
【方法归纳】　利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：
1．三个步骤：
(1)算：计算出两根的和与积；
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；
(3)代：代入求值．
2．六种常用变形：
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
(4)＋＝；(5)＋＝＝；
(6)|x1－x2|＝＝.
【跟踪训练3】　若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为3．
【跟踪训练4】　已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是2．

04　　巩固训练
1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是(D)
A．4 B．－4 C．3 D．－3
2．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(B)
A．1 B．5 C．－5 D．6
3．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A)
A．x2－3x－4＝0 B．x2＋3x－4＝0
C．x2－3x＋4＝0 D．x2＋3x＋4＝0
4．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是－4．
5．已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x＋x＝23．
6．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．
(1)两根互为相反数；
(2)两根互为倒数．
解：设原方程的两个根为x1，x2，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2.
(1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0，
解得m＝－1.
(2)若两根互为倒数，则x1x2＝m2－2＝1，
解得m＝±，而Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1(m2－2)≥0，解得m≥－.
因为－<－，所以m＝－舍去，
因此m＝.

05　　课堂小结
一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝.