八年级数学上册 矩形、正方形（第二课时）教案北师大版.doc

矩形、正方形 教学设计第（二）课时
教学设计思想
本节内容需两课时讲授；第一课时主要学习矩形的定义及性质、判别，第二课时学习正方形的定义及性质；第一课时首先通过一些生活中的矩形实例直接引入矩形的定义，矩形的性质由实验操作活动探索得出，例1的设置不仅在于熟悉和应用矩形的有关性质，而且在于为“议一议”中的（2）“直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半”提供推理的前提和依据.第二课时首先通过图形的变化引出正方形的定义，然后师生共同探讨正方形、菱形、矩形、平行四边形的关系来得出正方形的性质，最后让学生课上练习对知识加以巩固.
一、教学目标
(一)知识与技能
1.熟记正方形的概念及正方形的性质.
2.明确特殊平行四边形之间的关系.
3.知道正方形的判别条件.
(二)过程与方法
1.经历探索正方形有关性质和判别条件的过程.在简单的操作活动和说理过程中，发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法.
2.探索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件.
(三)情感、态度与价值观
1.通过正方形有关知识的学习，感受正方形的图形美和语言美.
2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点.
二、教学重点
正方形的定义.
三、教学难点
正方形的性质的应用.
四、教学方法
探索、归纳法.
五、教具准备
一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀、投影片、剪刀.
六、教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已经研究了平行四边形、菱形、矩形的定义、性质和判别条件，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，你能说出它有哪些性质吗？
［生］正方形的四条边相等，四个角都是直角，正方形的面积等于边长的平方.
［师］很好，这节课我们就来进一步研究正方形(square)
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们来看一个平行四边形变成正方形的全过程.(演示)
由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形.
这个变化过程，可用如下图表示

由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形.即：一组邻边相等的矩形叫做正方形.
这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形.
这个变化过程，也可用图表示

你能从这个变化过程中给正方形下定义吗？
［生］一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形.
［师］很好，由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形.
接下来我们讨论正方形的性质，它有哪些性质呢？同学们讨论、总结.
［生甲］因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即：
正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质.
［生乙］正方形的性质：
边：对边平行、四边相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
［师］同学们总结得全面、准确、正方形的性质同样可以边、角、对角线这三个方面来总结
(乙同学总结的性质)
大家想一想：正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？
［生］正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线.
［师］好，下面我们来看一例题，以熟悉理解正方形的性质
［例1］如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB、∠OAB的度数.

分析：本题是正方形的性质的直接应用.正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性.
解：正方形ABCD是菱形，对角线AC、BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°.
正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：
∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°.
［师］本题还有其他解法吗？
［生甲］因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD，OB=OD，所以△ABD是等腰直角三角形.又因为OB=OD，等腰三角形底边上的中线与底边上的高，顶角的角平分线重合，所以∠AOB=90°，∠OAB=45°.
［生乙］因为正方形是轴对称图形，它的对角线是它的对称轴，所以把正方形ABCD沿对角线AC对折，则△ABC与△ADC重合.∠BAC与∠DAC重合，因为∠BAD是直角，所以∠OAB=45°，把正方形ABCD沿对角线AC对折后，再沿对角线BD对折，则这时∠AOB、∠BOC、∠DOC、∠AOD重合，而这四个角的和为360°，所以这四个角都等于90°，即∠AOB=90°.
［师生共析］由上述可知：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形.
［师］下面我们拿出准备好的剪刀、白纸来做一做
将一张长方形纸对折两次(可演示)，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？(剪刀线与折痕成多少度的角？)
(学生动手折叠，想，剪切)
［生］只要保证剪口线与折痕成45°角即可.因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕当作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形.
［师］很好，同学们应用折叠、剪切，得到一个正方形，说明大家基本掌握了正方形的性质.
正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？大家来议一议
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？
［生甲］正方形、矩形、菱形都是平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形.
［生乙］平行四边形有一个内角为直角时，这时的平行四边形是矩形，当平行四边形的相邻的边相等时，这时的平行四边形是菱形，矩形的一组邻边相等时，此时的矩形是正方形，菱形的一个内角为直角时，此时的菱形是正方形.
［生丙］矩形的对角线互相垂直时，此时的矩形是正方形，菱形的两条对角线相等时，此时的菱形是正方形.
［师］同学们总结得很好，正方形、矩形、菱形都是平行四边形，但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形.它们的包含关系如图：

乙同学，丙同学总结的这四者之间的关系可用下图表示

由这个图你能知道什么？
［生］由这个图可以知道：什么样的平行四边形是正方形.
［师］很好，此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
［师生共析］先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形.
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.
［师］下面大家来做练习以巩固本节所学内容.
Ⅲ.课堂练习
课本P115随堂练习
边长为2cm的正方形，对角线的长是多少？
解：如图，正方形ABCD的边长为2 cm，对角线AC把它分成两个全等的等腰直角三角形，所以，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2

AC=
因此：边长为2 cm的正方形的对角线的长是2 cm.
2.如图中，有多少个等腰直角三角形？

答：以正方形的四个顶点为直角顶点，共有四个等腰直角三角形，以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，因而共有八个等腰直角三角形.
Ⅳ.课时小结
本节课我们探讨了正方形的定义、性质和判别条件.现在来总结一下：
正方形的定义：一组邻边相等的矩形.
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：(出示小黑板)

(小结性质时，师生共同完成，凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，
没有的性质不要填写)
由表中可知：矩形、菱形具有平行四边形的一切性质，又具有各自的特殊性质，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，又具有自身的特殊性质，因此矩形和菱形都是特殊的平行四边形.正方形也是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，特殊的菱形.
正方形的判别条件：
Ⅴ.课后作业
(一)课本P117习题4.7 1、2、3.
(二)课本P116“读一读”.
(三)1.预习内容：梯形
2.预习提纲：
(1)中心对称图形的定义.
(2)中心对称图形的性质.
Ⅵ.活动与探究
如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.

过程：让学生探讨、归纳，使其懂得：对于正方形问题，常将某个三角形绕正方形的顶点旋转90°，将分散的条件集中，使问题朝着有利问题解决的方向转化.
因为与正方形有关的角有45°、90°，所以本题可猜想∠HAF=45°，要证这一结论，可将△ADH旋转到△ABM的位置，使∠HAM=90°，若证∠HAF=∠FAM，则结论成立.
结果：证明：连接FH，延长CB到M，使BM=DH，连接AM.
则△ADH≌△ABM，∴AM=AH
设AG=a,BG=b,AE=x,ED=y

由①得：a－x=y－b
两边平方，得:a2－2ax+x2=y2－2by+b2
把②代入，得:a2－2ax+x2=y2－4ax+b2
则(a+x)2=b2+y2
a+x==FH
∴FM=FH
又∵AF=AF，∴MAF≌△HAF
∴∠HAF=∠MAF
又∵∠HAF+∠MAF=∠HAF+∠BAF+∠DAH=90°
∴∠HAF=45°
七、板书设计
§4.4.2 矩形、正方形(二)
一、正方形的定义 四、课堂练习
二、正方形的性质
例1(性质的应用) 五、课时小结
三、正方形的判别条件 六、课后作业