九年级数学下册 2.2.2 二次函数的图象与性质教案2 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：2. 2二次函数的图象与性质（2）
教学目标：
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c（a≠0）的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c（a≠0）的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2（a≠0）图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学重、难点：
重点：y=ax2＋c与y=ax2（a≠0）图象的作法和性质．
难点：能够比较y=ax2＋c与y=ax2（a≠0）的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，导入新知
活动内容1：复习回顾
（多媒体展示）二次函数y=x2与y=-x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

处理方式：教师出示问题：二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？学生回顾交流展示，教师利用课件出示.
设计意图：通过填表回顾上节课所学习的知识，进一步意识到抛物线的开口方向与a的符号有关，为本节课的学习做好铺垫．
活动内容2：导入新课
导语：同学们，上一节课我们探究了二次函数y＝x2与y=-x2的图象，这是最简单的二次函数a=±1、b=c=0的形式，当a≠±1而等于其他值时，y=ax2的图象又会是这样的？今天我们来探索y=ax2及y=ax2+c的图象与性质【教师板书课题：2.2二次函数的图象与性质（2）】
设计意图：数学知识是环环相扣的，以提问的方式引导学生复习y＝±x2的有关知识，能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡.带着他们的疑问来学习y=ax2及y=ax2+c的图象与性质，能激发了学生的探究的兴趣和探究的激情.
二、探究学习，获取新知
活动1：二次函数y=ax2的图象和性质．
多媒体课件出示：画二次函数y=2x2的图象．
（1）完成下表：
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y=2x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
处理方式：给予充分时间让学生思考、猜测，然后让学生
自己填表，在书上35页的平面直角坐标系画出图象，教师
巡视，对比较薄弱的学生进行指导，等学生完成后出示问题(2).
(2) 二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数
y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和
顶点坐标分别是什么？
处理方式：给学生3分钟的时间思考、观察、归纳、交流；教师出示表格引导学生填表．
二次函数
y=x2
y=2x2
形状
抛物线
相同点
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标
顶点都是原点，坐标为（0，0）．
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值，当x=0时，y的值最小等于0．
不同点
y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧，开口较小.y=2x2中函数值的增长速度较快．
（3）请同学们想一想,在作出二次函数y=x2和y=2x2的图象的坐标系中再作出y=x2的图象，它们有什么相同点和不同点？
处理方式：给学生2分钟的时间思考、猜测、归纳、交流、展示：二次函数y=x2、y=x2、y=x2的图象都是抛物线、开口方向、对称轴、、顶点坐标、增减性、最值都相同；不同点是开口的大小不同；学生的黑板上画草图说明.
（4）请同学们想一想,在同一坐标系中作二次函数y=2x2和y=-2x2的图象会是什么样? 二次函数y=-x2和y=-2x2的图象会是怎么样的，它们有什么共同特点？
处理方式：给学生3分钟的时间思考、猜测、归纳、交流、展示：二次函数y=2x2和y=-2x2的图象即关于x轴对称又关于原点中心对称；二次函数y=-2x2和 y=-x2的图象都是抛物线、开口方向都向下，对称轴都是y轴，顶点坐标都是（0,0）.
（5）（多媒体出示）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点坐标是什么吗？抛物线
y＝ax2的开口方向和开口大小与什么有关？你能说出其中的规律吗？
处理方式：给学生留足时间思考、归纳、交流、展示：抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点坐标（0，0）；a的符号决定开口方向，︱a︱决定开口大小，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；︱a︱越大，开口越小．
小试身手：（多媒体展示）
1．抛物线y=－4x2的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2.抛物线，y=x2，y=4x2，y=-2x2的图象，开口最大的是 ．
处理方式：学生独立完成后小组交流、展示．
设计意图：留给学生足够的时间作出完整的图象，真正让学生借助图象归纳得出y=ax2的性质，直观形象地掌握二次项系数a的作用，提高学生运用数形结合的思想解决问题的能力．
活动2：二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象和性质
多媒体课件出示：“做一做”
画二次函数y=2x2＋1的图象，你是怎样画的？
处理方式：给予充分时间让学生思考、猜测，交流、展示：
画法1：列表、描点、连线；画法2：通过列表与二次函数
y=2x2的图象比较发现，二次函数y=2x2的图象的横坐标相同时，二次函数y=2x2＋1的纵坐标比二次函数y=2x2的纵坐标都加1，即二次函数y=2x2＋1的图象可以由二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位得到.教师巡视，对学困生进行辅导；最后师生共同归纳总结.
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y=2x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y=2x2+1
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
设计意图：通过学生画二次函数y=2x2与y=2x2＋1的图象，分析、交流、探究发现
y＝2x2+1比y＝2x2的y值多1，就向上移动了一格；进而发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴都是一样的，只是顶点不一样，向上移动了1格；使学生初步理解二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象和性质，直观形象地掌握二次项系数a的作用和初步理解常数项c的作用，提高学生运用数形结合的思想解决问题的能力．
三、训练反馈，应用提升
活动1：多媒体课件出示：“议一议”
二次函数y＝2x2+1的图象与y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数y＝2x2－1的图象呢？
处理方式：给学生4分钟的时间思考、猜测、归纳、交流、展示：二次函数y＝2x2+1的图象是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到的，它的图象是抛物线，开口向上；是轴对称图形，对称轴是y轴；在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大；有最低点，y有最小值是1；顶点坐标为(0，1)．二次函数y＝2x2－1的图象是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到的，它的图象是抛物线，开口向上；是轴对称图形，对称轴是y轴；在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大；有最低点，y有最小值是1；顶点坐标为(0，－1)．
设计意图：通过学生画二次函数y=2x2－1与y=2x2＋1的图象，分析、交流、探究发现
y＝2x2+1和y＝2x2－1与y=2x2的图象的关系；进而发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴都是一样的，只是顶点不一样，向上（下）移动得到；使学生初步理解二次函数y=ax2+c的图象和性质，直观形象地掌握二次项系数a的作用和初步理解常数项c的作用，提高学生运用数形结合的思想解决问题的能力．
活动2：归纳y=ax2＋c（a≠0）的图象与性质
多媒体课件出示：请归纳出y=ax2与y=ax2＋c（a≠0）的图象与性质.
处理方式：给学生2分钟的时间思考、猜测、归纳、交流、展示：二次函数y=ax2＋c的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y=ax2＋c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时，向上移动|c|个单位，当c<0时，向下移动|c|个单位．教师利用多媒体展示：
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
a>0时,向上
a<0时,向下
y轴
（0，0）
y=ax2＋c
a>0时,向上
a<0时,向下
y轴
（0，c）
平移规律：
y=ax2＋c（a≠0）的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时，向上移动|c|个单位，当c<0时，向下移动|c|个单位．
简记为：上加下减.
设计意图：让学生作出完整的二次函数图象，通过类比学习，进一步体验二次函数的系数对图象的影响； 初步对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数图象之间（相同）的平移关系，培养学生的动态思维和自觉学习的意识，顺其自然地完成本节课的学习任务．
四、回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？
处理方式：学生畅谈自己的收获，教师鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高并作适当评价．
教师强调：y=ax2＋c（a≠0）的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时，向上移动|c|个单位，当c<0时，向下移动|c|个单位．
简记为：上加下减.
设计意图：通过回顾进一步巩固所学知识，并将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中，使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高
（教师）：为了了解我们对本节课所学知识的掌握程度，请同学们独立完成本节课的当堂检测.）（同时多媒体出示）
1、二次函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是什么？的图象呢？比较两者的联系．
2、若将二次函数的图象向上平移2个单位，你能写出它的表达式吗？
3、若再将二次函数的图象向下平移4个单位，你能写出它的表达式吗？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本36页，习题2.3第2题、第3题．
选做题：课本36页，习题2.3第4题，第5题．
板书设计：
§2.2.2二次函数的图象与性质
1、 二次函数y=ax2的图象和性质：
形状：
开口方向：
对称轴：
顶点坐标：
最值：
增减性：
2、 二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象和性质：
形状：
开口方向：
对称轴：
顶点坐标：
最值：
增减性：

3、二次函数y＝2x2+1的图象与二次函数
y＝2x2－1的图象：
开口方向：
对称轴：
顶点坐标：
最值：
增减性：

投
影
区
学 生 活 动 区