九年级数学上册 第21章 一元二次方程教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

一元二次方程
一、教材分析
本章的主要内容包括：
21.1 一元二次方程及其有关概念,
21.2 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,
21.3 运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
二、学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本章将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
根据已学的平方根的意义来解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。
这样容易完成学习内容。
三、教学目标
（结合课标）
1.理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为2。
对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。
把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母---去括号---移项---合并同类项。
注意:①当a是负值时，一般转化为正数； ②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如：。
2. 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作用，逐步养成主动探究和应用的习惯。
3. 结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。
（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题：
① x2=a (a＞0)
bx2=a (a、b同号，b≠0)
③ （x-b）2=a (a＞0)
④ m(x-b)2=a (a、m同号,m≠0)
⑤ m(nx-b)2=a (a、m同号,m、n≠0)
（2）配方法（2课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。教学中对配方法及化归思想应充分重视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。
第一课时：安排a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。
注意：如x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。
第二课时：安排a≠1的情况，总结出配方法的步骤：
方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1的类型；
方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；③直接开平方；
④写出结果。
（3）公式法（2课时）
由配方法引出求根公式。推导求根公式时，特别给出条件“当b2-4ac≥0时”。教学中应当使学生认识到这一条件是根据非负而产生的，如果b2-4ac＜0,就有＜0.这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定b2-4ac≥0.得出求根公式后，可知方程ax2+bx+c=0(a≠0)根是由系数a、b、c所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b2-4ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：①有两个不等的实数根；②有两个相等的实数根；①②合称为有实数根，③没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。
教学时总结出公式法解题的一般步骤：
化为一般式；
指出a、b、c，带符号；
写出求根公式；
代入求解。
（4）因式分解法（1课时）：教科书中所用的因式分解法包括提公因式和公式法，这与以前学过的因式分解方法是一致的。对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。
（5）习题课（1课时）
选择适当的方法解一元二次方程。
21.2.4一元二次方程根与系数的关系（1课时）：本节内容为选学内容，进一步加深对一元二次方程及其根的认识。利用一元二次方程根与系数的关系，可以灵活地解决许多问题，建议讲授本节内容为以后的学习做准备。但是在难度上要有所控制。
学法点拨：
公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，当方程符合ax2=c(a、c同号，a≠0)时，可用直接开平方法解方程。
解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。
配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配方在其他方面的应用。
因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。
易错点
用因式分解法没有注意方程是否写成A*B=0形式。
如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3.
(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=—4,c=2.
(3)丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),只解得x=3.
21.3 实际问题与一元二次方程
结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。
教学重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。
教学难点：在探究过程中正确地建立一元二次方程。
突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
学法点拨：
列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。
具体过程：（1）审题，找等量关系； ------- 关键
（2）设未知数； ------- 注意单位
（3）列方程；
（4）解方程；
（5）检验； -------注意是否符合实际意义
（6）写出答案；
（7）答话。
增长率问题常用公式 a(1±x)2=b ，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。
易错点
①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；
②解方程后未经检验就盲目作答。
③检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材,探究2问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。
四、教学重点难点

应对措施和思路
教学重点
1.一元二次方程及有关概念的理解.
2. 一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

教学难点
一元二次方程及有关概念的理解.
选择合适的解法

五、课时安排
21.1 一元二次方程 2课时
21.2 降次——解一元二次方程 7课时
*21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 1课时
21.3 实际问题与一元二次方程 3课时
小结 2课时
六、知识结构

七、其它补充